Este libro es el resultado del curso denominado Introducci´on a la Geometr´ıa
Anal´ıtica Local, que se ofreci´o en el marco de la C´atedra Jos´e Tola Pasquel 2010
y que estuvo a cargo del Dr. Felipe Cano Torres, catedr´atico de la Universidad
de Valladolid, Director del Centro Tordesillas de Relaciones con Iberoam´erica
de la misma Universidad y codirector del grupo de investigaci´on Ecuaciones y
Singularidades (ECSING), reconocido como grupo de excelencia por la Junta
de Castilla y Le´on.
Author(s): Felipe Cano, (aut.); Francisco Ugarte, (ed.)
Series: Cátedra José Tola Pasquel , 2010
Publisher: Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP) - Departamento de Ciencias
Year: 2011
Language: Spanish
Pages: 109
City: Lima
Tags: Peru; PUCP; Geomería analítica; Analytical Geometry; Geometría analítica local
Indice general
1. El espacio ambiente 9
1.1. Variedades anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Haces de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Espacios anillados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. G´ermenes de espacio ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6. El espacio proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7. La explosi´on de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Anillos de series 31
2.1. El teorema de preparaci´on de Weierstrass . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Consecuencias del teorema de preparaci´on . . . . . . . . . . . . 35
2.3. El lema de Hensel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4. El cono tangente de una curva plana . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. G´ermenes de curvas anal´ıticas 41
3.1. La multiplicidad, ramas y puntos singulares . . . . . . . . . . . 42
3.2. Explosiones y curvas anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3. Reducci´on de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4. Uniformizaci´on local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5. Estrategia para la uniformizaci´on local. . . . . . . . . . . . . . 51
3.6. El poliedro de Newton y el juego de Hironaka . . . . . . . . . . 52
3.7. El caso libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.8. El pol´ıgono de Newton-Puiseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
iii
iv ´INDICE GENERAL
4. Equisingularidad 61
4.1. El grafo dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2. Estructura c´onica de las singularidades . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3. Equivalencia topol´ogica de g´ermenes de curvas . . . . . . . . . 65
4.4. Topolog´ıa y equisingularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5. El estrato de Samuel y las explosiones permitidas . . . . . . . . 71
4.6. La estrategia global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.7. Contacto maximal vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.8. El juego fuerte de Hironaka en dos variables . . . . . . . . . . . 80
5. Uniformizaci´on local 83
5.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2. Paquetes de Puiseux de explosiones . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3. Primeras reducciones e inducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.4. El juego de Hironaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5. Rango racional m´aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.6. El pol´ıgono de Newton-Puiseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.7. El invariante de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.8. Estabilidad del invariante de control . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.9. Contacto maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
