Calculo Basico

Calculo Basico
Tabla de contenidos
Prologo
Agradecimientos
Capitulo 1 Propiedades utiles de conjuntos y funciones
Conjuntos
La idea de pertenencia
Diferentes maneras de "describir" un conjunto
Propiedades de los elementos de un conjunto. Cuantificadores
Ejercicios
El Conjunto de los Numeros Reales
Cotas superiores e inferiores
Definicion de cota supreior
Definicion de cota inferior
Maximo y minimo
Definicion de maximo
Ejercicios
Ejercicios de formulacion
Supremo e infimo
Definicion de supremo
Ejercicios
Comparacion entre cota, maximo y supremo 2
Funciones crecientes y decrecientes
Como aparece la definicion
Definicion de estrictamente creciente
La utilidad de las funciones crecientes y decrecientes
Como demostrar una desigualdad utilizando la definicion de creciente o decreciente
Ejercicios
Demostraciones de desigualdades
Ejercicios
Funciones y conjuntos
Imagen directa de un conjunto
Definicion
Cotas superiores e inferiores de imagenes directas
Maximos y minimos de una imagen directa
Supremos e infimos de una imagen directa
Quiz
Comentarios del capitulo
Capitulo 2 Graficas de funciones
Relacion entre f y f'
Ejercicios
La grafica derivada
Ejercicios
Concavidad y convexidad de funciones
Definicion
Ejercicios
Aplicacion de las derivadas en la graficacion de funciones
Ejercicios
Teorema 1
Demostracion
Teorema 1'
Graficacion con un esbozo preliminar
Graficacion de polinomios
Trabajo con un polinomio de grado tres
Ejercicios
Estudio del numero de raices de un polinomio
Graficacion sin esbozo
Dominio de una formula complicada
Limites en los bordes
Punto de corte con el eje y
Puntos de corte con el eje x
Valores donde la derivada de f se anula
Valores donde la segunda derivada vale cero
Trazado de la curva utilizando la informacion obtenida en los pasos anteriores
El tipo de convergencia a infinito. Las asintotas oblicuas
Ejercicios
Limitaciones de los metodos dados
Quiz
Comentarios del capitulo
Capitulo 3 L'Hopital, Rolle y Lagrange
Regla de L'Hopital
Alerta!
El teorema de Rolle
Ejercicios
Enunciado del Teorema de Rolle
Demostracion
Ejercicios
El Teorema del Valor Medio de Lagrange
Demostracion
Aplicaciones practicas del Teorema de Lagrange
Ejercicios
Aplicaciones teoricas del Teorema de Lagrange
Corolario del Teorema de Lagrange
Demostracion
Teorema 1
Demostracion
Teorema 1'
Ejercicios
Teorema del Valor Medio de cauchy
Demostracion
Demostracion de la Regla de L'Hopital
Quiz
Comentarios del capitulo
Capitulo 4 Calculo de maximos y minimos
Calculo de maximos y minimos
Ejemplo basico
Solucion solo con conceptos de geometria
Solucion con los conceptos del calculo
Solucion esquematica
Ejercicios
Ejercicios con letras
Ejercicios de interpretacion
Sugerencia
Quiz
Comentarios del capitulo
Capitulo 5 Polinomio de Taylor
Polinomio de taylor
Cuando dos curvas tienen la misma tangente en un punto?
Ejercicios
Coincidencia en derivadas sucesivas y el Polinomio de Taylor
Ejercicios
Propiedades numericas del Polinomio de Taylor
La nocion de convergencia
La nocion de resto
Como acotar los restos
Teorema del resto de Lagrange
Demostracion
Cotas superiores del valor absoluto del Resto de Lagrange
Ejercicios
Calculos aproximados de funciones
Ejercicios
Formulas aproximadas
Ejercicios dificiles
El Metodo de Newton para hallar soluciones de la ecuacion f(x) = 0
Ejercicios
Quiz
Comentarios del capitulo
Capitulo 6 Integracion
Primitivas
Ecuaciones con derivadas, ecuaciones diferenciales
Algunos metodos para obtener las primitivas
Las reglas de derivacion utilizadas al reves
El metodo "por partes"
Demostracion de las igualdades
Como se aplican las igualdades?
Formulas trigonometricas utiles
Primitivas de ciertas funciones trigonometricas
La integral definida
Cotas para areas de figuras no tradicionales
Definicion de sumas superiores y sumas inferiores
Ejercicios
La definicion de integral definida segun Riemann
Ejercicios
El grafico de F(x) = Integral definida (de a a x) de f(t)dt
Ejercicios
La relacion entre primitivas e integrales definidas
Teorema fundamental del calculo
Demostracion
Ejercicios
Aplicaciones al calculo exacto de magnitudes
Calculo exacto de areas
Ejercicios
Volumenes de revolucion
Ejercicios
Calculo de la longitud de arco
Ejercicios
Calculo del area de una superficie de revolucion
Ejercicios
Quiz 1
Topicos de completacion del tema de integrales
Integracion de funciones de polinomios de segundo grado
Ejercicios
Integracion por fracciones simples
Ejercicios
El cambio "universal"
Ejercicios
Integrales impropias
Ejercicios
Calculos aproximados de integrales definidas
Regla del trapecio
La Regla de Simpson
Ejercicios
Quiz 2
Comentarios del capitulo
Capitulo 7 Ecuaciones diferenciales
Preambulos
Donde aparecen las ecuaciones diferenciales
La "ley de enfriamiento" de Newton
La velocidad
Modelado de la ley de enfriamiento con una ecuacion diferencial
La variacion de la temperatura en cada instante es proporcional a la diferencia entre la temperatura de un cuerpo y la del medio ambiente
Metodos de resolucion de ecuaciones diferenciales de primer orden
Variables separables
Ejercicios
Homogeneas
Ejercicios
Metodo de solucion de las ecuaciones diferenciales homogeneas
Ejercicios
Condiciones iniciales
Ejercicios
Lineales de primer orden
Metodo de resolucion de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Ejercicios
Actividades de modelado e interpretacion
Sobre familias de curvas
Ejercicios
Del castellano a la matematica
Interpretacion de resultados
Quiz
Comentarios del capitulo
Capitulo 8 Definicion de limite
Trabajo con los simbolos de la definicion basica
Paso a la forma simbolica
Estudio de |x-a| < d (d = delta)
Ejercicios
Interpretacion de |x-a| en terminos de distancia
Ejercicios
Significado de |f(x)-L| < E (E = epsilon)
Ejercicios
Significado de 0 < |x-a| < d (d = delta)
Significado de x pertenece a A => f(x) pertenece a B
Significado de |x-a| < d => |f(x)-L| < E
Ejercicios
Como se demuestra con la definicion de limite
Ejercicios
Etapas de la demostracion
Demostraciones segun los libros
Extension de la definicion de limite
Ejercicios de notacion
Ejercicios de escritura de la definicion de limite para "limites no finitos"
Demostraciones con la definicion extendida de limite
Propiedades teoricas de las funciones continuas
Utilidad de la continuidad para resolver limites
Ejercicios preparatorios
Propiedad importante de las vecindades del supremo de un conjunto acotado
Demostracion
Ejercicios
El teorema de bolzano
Demostracion
Ejercicios
Teorema de valores intermedios
Quiz
Comentarios del capitulo
Apendice 1 Imagen inversa de un conjunto
Definicion
Ejercicios
Apendice 2 Desigualdad tringular y valor absoluto
Valor absoluto
Ejercicios
Aplicacion
Expresiones con el signo de desigualdad
Trabajo sin "quitar los palitos"
Desigualdad triangular
Vision "grafica funcional" de la desigualdad triangular
Ejercicios
Aplicaciones
Ejercicios
Otra aplicacion
Ejercicios
Apendice 3 Apendice de limites
Demostraciones generales
Ejemplo de la demostracion larga
Demostraciones reducidas
Regla del producto
El ejemplo de producto de limites
Sobre la negacion de la definicion de limite
Negacion de una proposicion
Negacion de una proposicion con cuantificadores
Que significa el no implica?
Ejercicios
Estudio de...
Asignando valores de verdad a proposiciones con varios cuantificadores
Negacion formal de la definicion de limite
Demostracion con la negacion de la definicion de limite
Ejercicios
Demostracion de...
Ejercicios
Apendice 4 Hechos, conjeturas y demostraciones
Restricciones de funciones 3
La idea
Ejemplos
Comentarios
Notacion
Simplificaciones que solo son validas para restricciones de funciones
Teclas de las calculadoras y funciones
Ejercicios
Hechos, conjeturas y demostraciones
Hecho
Conjetura
Demostracion
Ejercicios
Enunciado riguroso
Demostracion
Ejercicios
Aplicaion del conocimiento
Apendice 5 Numeros complejos
El numero i
Los numeros complejos
Representacion "visual" cartesiana
Operaciones con numero complejos
Suma
Resta
Producto
Reciproco
Division
Ejercicios
El conjugado de un numero complejo
Representaion polar de un numero complejo
Modulo
Argumento
Paso de la representacion cartesiana a la representacion polar
Expresion polar de un numero complejo
Producto de complejos bajo la representacion polar
Formula de De Moivre
Ejercicios
Las raices cubicas de la unidad
Las raices n-esimas de la unidad
Ejemplo de polinomio a coeficientes no reales
Ver que las raices de polinomios coeficientes reales son conjugados
Raices n-esimas de un numero
Formula de Euler
Complementos
Regla de L'Hopital
Problemas de maximos y minimos
Polinomio de Taylor
Integrales
Tabla de integrales inmediatas
1. Manipulando algebraicamente y usando la tabla de integrales inmediatas, resuelva
2. Resuelva las siguientes integrales por el metodo de sustitucion
3. Resuelva las siguientes integrales por el metodo de integracion por partes
4. Resuelva las siguientes integrales trigonometricas (consulte en algun libro o con su profesor el metodo que debe aplicar)
5. Resuelva las siguientes integrales usando cambios trigonometricos
6. Resuelva las siguientes integrales usando completacion de cuadrados
7. Resuelva las siguientes integrales usando el metodo de descomposicion en fracciones simples
8. Resuelva las siguientes integrales usando sustitucion universal
9. Resuelva las siguientes integrales usando diversos metodos
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