Unique dans la pratique mondiale à traiter la théorie des fonctions de une et de plusieurs variables complexes, le manuel a son origine dans des cours speciaux lues par son auteur à l'Université d'Etat de Moscou.
Le premier tome expose les principaux éléments de la théorie classique des fonctions holomorphes, y compris les principes géométriques, le théorème de Riemann, les théorèmes d'Hadamard sur les fonctions entières, le principe de Phragmen-Lindelof, les éléments des méthodes d'approximation asymptotique.
Les démonstrations sont rigoureuses et limpides et sont accompagnées par des interprétations géométriques. L'ouvrage comporte un historique de cette branche et une biographie des fondateurs de l'analyse complexe : L.Euler, A.Cauchy, K.Weierstrass, B.Riemann.
Pour les étudiants et élèves du troisième cycle en mathématiques, mécanique et physique.
Author(s): Boris Chabat
Series: Introduction à l'analyse complexe
Edition: 2
Publisher: Éditions Mir
Year: 1990
Language: French
Pages: 308
City: Moscow
Tags: Mathématiques Appliquées, Analyse Complexe, Fonctions d’une Variable Complexe
TABLE DES MATIÈRES
Avant-propos
Avant—propos à la troisième édition russe
Chapitre I. FONCTIONS HOLOMORPHES
1. Plan complexe
1. Nombres complexes. 2. Topologie du plan complexe.
3. Chemins et courbes. 4. Domaines.
2. Fonctions d’une variable complexe
5. Notion de fonction. 6. Différentiabilité. 7. Significations
géométrique et hydrodynamique.
3. Propriétés des fonctions homographiques
8. Fonctions homographiques. 9. Propriétés géométriques.
10. Isomorphismes et automorphismes homographiques. 11. Un modèle de géométrie de Lobachevsky.
4. Fonctions élémentaires
12. Quelques fonctions rationnelles. 13. Exponentielle. 14. Fonctions trigonométriques.
Exercices.....................................................................
Chapitre II. Propriétés des fonctions holomorphes
5.Intégrale
15. Notion d’intégrale. 16. Primitive. 17. Théorème de Cauchy.
18. Cas particuliers. 19. Formule intégrale de Cauchy.
6.Séries de Taylor
20. Séries de Taylor. 21. Propriétés des fonctions holomorphes.
22. Théorèmes d’unicité. 23. Théorème de Weierstrass et de Runge.
7. Séries de Laurent et points singuliers
24. Séries de Laurent. 25. Points singuliers isolés. 26. Résidus.
Exercices.....................................................................
Chapitre III. PROLONGEMENT ANALYTIQUE
8. Notion de prolongement analytique
27. Éléments et leurs prolongements. 28. Théorème de la monodromie.
9.Fonctions analytiques
29. Notion de fonction analytique. 30. Fonctions élémentaires.
31. Points singuliers.
10. Notion de surface de Riemann
32. Approche élémentaire. 33. Approche générale.
Exercices.....................................................................
Chapitre IV. ÉLÉMENTS DE THÉORIE GÉOMÉTRIQUE
11. Principes géométriques
34. Principe de l’argument. 35. Principe de conservation du domaine.
36. Notion de fonction algébrique. 37. Principe du maximum du module et lemme de Schwarz.
12.Théorème de Riemann
38. Isomorphismes et automorphismes couronnes. 39. Principe de compacité.
40. Théorème de Riemann.
13. Correspondance des frontières et principe de symétrie
41. Correspondance des frontières. 42. Principe de symétrie.
43. Notion de fonctions elliptiques. 44. Fonction modulaire et théorème de Picard.
Exercices.....................................................................
Chapitre V. MÉTHODES ANALYTIQUES
14. Développements des fonctions entières et méromorphes
45.théorème de Mittag-Leffler. 46. Théorème de Weierstrass
15. Croissance des fonctions entières
47. Ordre et type d’une fonction entière. 48. Croissance et zéros.Théorème d’Hadamard.
16. Autres théorèmes faisant intervenir la croissance
49. Principe de Phragmén–Lindelöf (262). 50. Théorème de Kotelnikov
17. Estimations asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
51. Développements asymptotiques. 52. Méthode de Laplace.
53. Méthode du col.
Exercices.....................................................................
Annexe. FONCTIONS HARMONIQUES ET SUBHARMONIQUES
1. Fonctions harmoniques. 2. Problème de Dirichlet.
3.Fonctions subharmoniques.
Exercices.....................................................................
Index alphabétique des matières
