Algebra lineare, per matematici

Capitolo 1. I sistemi lineari
1.1. Sistemi lineari
1.2. Sistemi ridondanti e rango
1.3. Il linguaggio degli insiemi
1.4. Brevi cenni sul metodo di Gauss
1.5. Alcune cose che si trovano nei libri di matematica
1.6. Prima esercitazione
1.7. Complementi: ulteriori nozioni base di logica matematica
Capitolo 2. Numeri interi e razionali
2.1. Numeri naturali, interi e razionali
2.2. Applicazioni tra insiemi
2.3. Il principio di induzione matematica
2.4. Il teorema fondamentale dell'aritmetica
2.5. Attenti all'errore!
2.6. Fattoriali e coefficienti binomiali
2.7. Il prodotto di composizione
2.8. Complementi: i numeri di Fibonacci e di Bernoulli
Capitolo 3. Numeri reali e complessi
3.1. I numeri reali
3.2. Estensioni quadratiche
3.3. I numeri complessi
3.4. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi
3.5. Potenze e radici di numeri complessi
3.6. Campi di numeri
3.7. Campi, polinomi e funzioni razionali
3.8. Complementi: la formula di Cardano
Capitolo 4. Spazi e sottospazi vettoriali
4.1. Spazi vettoriali numerici
4.2. Spazi vettoriali
4.3. Sottospazi vettoriali
4.4. Combinazioni lineari e generatori
4.5. Indipendenza lineare e teorema di scambio
4.6. Basi e dimensione
4.7. Semisemplicità e formula di Grassmann
4.8. Complementi: i numeri algebrici
Capitolo 5. Applicazioni lineari
5.1. Applicazioni lineari
5.2. Nucleo, immagine e teorema del rango
5.3. Matrici ed applicazioni lineari
5.4. Iperpiani e sistemi di coordinate
5.5. Spazi di applicazioni lineari
5.6. Complementi: successioni esatte e caccia al diagramma
Capitolo 6. Operazioni con le matrici
6.1. Traccia e trasposta
6.2. L'algebra delle matrici
6.3. Matrici invertibili
6.4. Rango di una matrice
6.5. Matrici speciali
6.6. Complementi: attenti a chi si incontra in rete
Capitolo 7. Riduzione a scala ed applicazioni
7.1. L'algoritmo di divisione
7.2. Matrici a scala
7.3. Operazioni sulle righe e riduzione a scala
7.4. Il teorema di Rouché-Capelli
7.5. Equazioni parametriche e cartesiane
7.6. Riduzione di Gauss-Jordan e calcolo della matrice inversa
7.7. Prodotto scalare e proiezioni ortogonali
7.8. Complementi: matrici a coefficienti interi e riduzione di Smith
Capitolo 8. Il determinante
8.1. Una formula per il determinante
8.2. Segnatura delle permutazioni ed unicità del determinante
8.3. Incroci e segnatura
8.4. Sviluppi di Laplace
8.5. La matrice dei cofattori e la regola di Cramer
8.6. Complementi: lo Pfaffiano
Capitolo 9. Endomorfismi e polinomio caratteristico
9.1. Matrici simili
9.2. Spettro e polinomio caratteristico
9.3. Matrici compagne
9.4. Endomorfismi
9.5. Autovalori, autovettori e sottospazi invarianti
9.6. Endomorfismi triangolabili e nilpotenti
9.7. Endomorfismi diagonalizzabili
9.8. Il teorema fondamentale dell'algebra
9.9. Complementi: similitudine complessa di matrici reali
Capitolo 10. Polinomio minimo
10.1. Il polinomio minimo
10.2. Il teorema di Cayley-Hamilton
10.3. Polinomio minimo e diagonalizzazione
10.4. Matrici ed endomorfismi nilpotenti
10.5. Matrici simmetriche ed antisimmetriche reali
10.6. Criterio di Sylvester e regola dei segni di Cartesio
10.7. Complementi: il teorema di Cayley-Hamilton-Frobenius
Capitolo 11. Autospazi generalizzati e forma canonica di Jordan
11.1. La decomposizione di Fitting
11.2. Diagrammi di Young
11.3. Autospazi generalizzati
11.4. La forma canonica di Jordan
11.5. Complementi: la decomposizione di Dunford
Capitolo 12. Spazi duali
12.1. Spazi duali
12.2. Basi duali e sistemi di coordinate
12.3. Biduale e trasposta
12.4. Dualità vettoriale
12.5. Forme alternanti
12.6. Il principio del massimo
12.7. Complementi: la prova del principio del massimo
Capitolo 13. Spazi quoziente
13.1. Relazioni di equivalenza
13.2. Spazi vettoriali quoziente
13.3. Triangolazione simultanea di endomorfismi nilpotenti
13.4. La costruzione dei numeri reali
13.5. Complementi: insiemi ordinati e lemma di Zorn
Capitolo 14. Fattorizzazione di polinomi e forma canonica razionale
14.1. Il massimo comune divisore di polinomi
14.2. Polinomi irriducibili e fattorizzazione unica
14.3. Decomposizione primaria ed endomorfismi semisemplici
14.4. Spazi ciclici, irriducibili e indecomponibili
14.5. La forma canonica razionale
14.6. Complementi: il risultante di due polinomi
Capitolo 15. Spazi e trasformazioni affini
15.1. Combinazioni baricentriche, spazi e sottospazi affini
15.2. Il rapporto semplice
15.3. Inviluppo affine, dimensione e formula di Grassmann
15.4. Polinomi di Bernstein e curve di Bézier
15.5. Complementi: spazi affini astratti e modellati
Capitolo 16. Complementi: le trascendenze famose
16.1. Irrazionalità di e ed l
16.2. L'operatore di derivazione
16.3. Irrazionalità di
16.4. La trascendenza di l
16.5. La trascendenza di e
16.6. Polinomi simmetrici
16.7. La trascendenza di
Capitolo 17. Note, commenti, curiosità e riferimenti bibliografici
Capitolo 18. Soluzioni e suggerimenti di alcuni esercizi