Cálculo Variacional e Controle Ótimo

Conteúdo

1 Introdução ao Cálculo de Variações 3
1.1 Problemas Variacionais e Convexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Lemas de du Bois-Reymond e Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Equação de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Três Problemas Variacionais Clássicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Extremais Diferenciáveis por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Problemas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Problemas Variacionais e Controle Ótimo . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 27
2.1 Problemas de Controle Ótimos Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Problemas Variacionais com Restrição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Extremais Singular e Trajetórias Ótimas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Convexidade I: condições suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Convexidade II: condições necessárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Princípio do Máximo de Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1 Problemas com Horizonte Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Problemas com Horizonte Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Problemas Impulsivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Aplicações do Princípio do Máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4 Demonstração do Princípio do Máximo . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 81
4.1 Otimização infinita . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 81
4.2 Um Problema Auxiliar . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . 83
4.3 Condições Necessárias de Otimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A Otimização Infinita . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.1 Um Problema Abstrato de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.2 Linearização do Problema de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A.3 Condições Necessárias para o Problema Abstrato . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Bibliografia 105

Índice 110