האלגברה המודרנית )כפי שהתפתחה בראשית המאה ה-20( שואפת לכנס תחת קורת-גג אחת דוגמאות שונות בעלות סממנים דומים, לזקק את המשותף להן באמצעות אקסיומות המגדירות מבנה אלגברי, ולהוכיח משפטים כלליים על אותו מבנה, שיהיו ישימים בכל אחת מהדוגמאות. בקורסים באלגברה לינארית למדנו על שדות ועל מרחבים וקטוריים. ראינו כיצד תובנות מאנליזה וקטורית ב-R2 או ב-R3
ניתנות להכללה גם למרחבים וקטוריים מעל שדות סופיים, או למרחבים אינסוף-ממדיים.
בחלק הראשון של הספר נעסוק במושג החבורה, שהוא מושג מרכזי ברבים מענפי המתמטיקה והמדע
בכלל. אי אפשר להתקדם היום בתורת המספרים, בפיזיקה של אנרגיות גבוהות או בקריסטלוגרפיה בלי תורת החבורות. תורת החבורות התבררה ככל-כך מרכזית לענפי הגאומטריה השונים, עד שפליקס קליין
ניסה להעמיד עליה את כל יסודות הגאומטריה ב"תכנית ארלנגן" )Erlangen( שפרסם בשנת 1872.
בחלקו השני של הספר נכיר מושג נוסף — החוג — שגם לו תפקיד מרכזי ברוב תחומי המתמטיקה, ובמיוחד בתורת המספרים ובגיאומטריה אלגברית.
בחלק השלישי נדון בתורת השדות וביהלום שבכתר — תורת גלואה. תורה זו פותחה במאה ה-19 על-ידי מספר מתמטיקאים שעיקריים שבהם נילס אבל )Abel( ואווריסט גלואה )Galois(. האחרון מצא את מותו הטראגי בגיל 21, אבל הספיק להשאיר מורשת ששינתה את פני האלגברה המודרנית והשפיעה רבות על תחומים רבים במתמטיקה. תורה זו, שגילתה קשר עמוק בין שני נושאים לכאורה שונים: פתרון משוואות פולינומיאליות מעל שדות מחד ותורת החבורות מאידך, מהווה את אחת מפסגות ההישגים של
המתמטיקה לאורך הדורות. היא גם זו המאגדת את חלקי הספר ליחידה אחת.
בהצגת הנושאים השונים השתדלנו לפרט ולהביא את מרבית ההוכחות המרכזיות במלואן. אולם במכוון השארנו לעתים חלקים מההוכחה לעבודה עצמית כתרגילים. מעבר לחיסכון במקום, הקורא ישכיל, לטעמנו, אם יהיה שותף פעיל בקריאה ויפתור לאורך הדרך את התרגילים שהצגנו, אם מעט ואם
הרבה. חלק מהנושאים מוצג על-ידי תרגילים בלבד.
לכל אורך הדרך, דוגמאות ומקרים פרטיים יהוו חלק חשוב מפיתוח התורה. מעבר לעניין שיש ביישומים של המשפטים הכלליים במקרים פרטיים, יש בדוגמאות אלו כדי לעורר שאלות חדשות ולכוון את התפתחות המקצוע.
החומר המכוסה בספר מתאים לתכנית הלימודים בקורסי "מבנים אלגבריים" באוניברסיטה העברית, אולם נסיוננו מראה שלא ניתן לכסות את כולו בהרצאות בכיתה. אנו ממליצים להשאיר חלק מן הנושאים לשיעורי התרגול )למשל, סעיפים 3.5, 6.3.4, 6.4, 10.8, 15.3, 17.3, 18.4.2, 18.4.3 ו-18.5(. ייתכן אף שמורים ייאלצו לוותר כליל על חלק מהנושאים, איש איש על פי טעמו והעדפותיו, ועל-פי רמת הכיתה. עם זאת,
אנו מאמינים שהספר מאפשר לתלמיד הרוצה בכך ללמוד בעצמו את כלל החומר.
ספר זה נכתב מתוך תחושה שהספרות העברית הקיימת בנושא המבנים האלגבריים הנלמדים כאן היא מצומצמת מדי, והחומר בסיסי מכדי לשלוח תלמידים לספרות הלועזית. עם זאת, ספרי הלימוד באנגלית העוסקים במבנים אלגבריים הם רבים וחלקם מצוינים. לאלו הרוצים להעמיק בחומר ולקרוא על נושאים שאינם מטופלים בספר הנוכחי, אנחנו ממליצים על הספרים הבאים: An Introduction to the Theory Topics in Algebra-ו Abstract Algebra עבור נושא החבורות(, הספרים) J. J. Rotman מאת of Groups מאת I. N. Herstein, הספר Basic Algebra I של Jacobson, ספרו המקיף של S. Lang ששמו Algebra, הספר המודרני יותר Abstract Algebra מאת D. S. Dummit ו-R. M. Foote, וכן ספרו המצוין של I. Stewart שעוסק בתורת השדות ובתורת גלואה, שכותרתו Galois Theory. ספרים אלו כתובים ברמות
שונות של הרחבה, העמקה וקצב, אך אנו בטוחים שכל תלמיד שיחפוץ בכך יוכל למצוא בהם ספר לטעמו
Author(s): אהוד דה שליט; אלכס לובוצקי; דורון פודר
Publisher: מאגנס
Year: 2018
Language: Hebrew
Pages: 314
City: ירושלים
הקדמה
חלק א: תורת החבורות
1 מושגים בסיסיים
1.1 דוגמאותלחבורות ................................ 1.1.1 חבורתהתמורות ............................. 1.1.2 החבורההדיהדרליתDn ......................... 1.1.3 חבורותמטריצותוהחבורותהקלאסיות .................. 1.1.4 מכפלהישרה...............................
1.2 איזומורפיזםשלחבורות ............................. 1.3 חבורותסופיותולוחהכפלשלהן.......................... 1.4 קבוצותיוצרים..................................
1.4.1 חבורותצקליות.............................. 1.4.2 גרףקיילי ................................
1.5 חבורתהאוטומורפיזמים .............................
1.6 מחלקותשלתת-חבורות ............................. 1.6.1 משפטלגרנז' ...............................
1.7 תת-חבורהנורמלית................................
2 פעולה של חבורה על קבוצה
2.1 משפטמסלול-מייצב ............................... 2.2 מחלקותצמידות ................................. 2.3 המשמר)נורמליזטור(שלתת-חבורה........................ 2.4 משפטקושי ...................................
3 הומומורפיזמים וחבורות מנה
3.1 הומומורפיזםשלחבורות ............................. 3.2 חבורותמנה ................................... 3.3 משפטיהאיזומורפיזם...............................
3.3.1 משפטהאיזומורפיזםה-I ......................... 3.3.2 משפטההתאמה ............................. 3.3.3 משפטהאיזומורפיזםה-III ........................ 3.3.4 משפטהאיזומורפיזםה-II.........................
3.4 חבורותפשוטות ................................. 3.5 עודעלמכפלהישרה ...............................
4 חבורות תמורות
4.1 תמורותבכתיבמחזורים ............................. 4.2 מחלקותהצמידותשלSn............................. 4.3 סימןשלתמורה .................................
4.4 פשטותAnבעבור5≥n ............................. 85
5 חבורות p ומשפטי סילו 89 5.1 חבורות-p .................................... 89
5.2 משפטיסילו ................................... 91
5.2.1 חבורותp·q............................... 95
6 סדרות נורמליות וסדרות הרכב 97
6.1 סדרותהרכב................................... 97
100
105
106
107
108
110
113
115
118
119 124
129
134
137
139
139
146
148
152
155
157
157
160
163
165
165
167
171
175
6.2 משפטז'ורדן-הולדר................................ 6.2.1 משפטהמיוןשלהחבורותהפשוטותהסופיות. . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 חבורותפתירות.................................. 6.3.1 החבורההנגזרת ............................. 6.3.2 הסדרההנגזרת.............................. 6.3.3 קריטריוןנוסףלפתירות.......................... 6.3.4 דוגמה:כלהחבורותמסדר>60הןפתירות................
6.4 חבורותנילפוטנטיותוסדרותמרכזיות.......................
7 תורת המבנה של חבורות אבליות נוצרות סופית
7.1 חבורותאבליותחופשיות ............................. 7.2 חבורותאבליותנוצרותסופית...........................
8 מילה על חבורות חופשיות
8.1 יוצריםויחסים..................................
חלק ב: תורת החוגים
9 חוגים: מושגי יסוד
9.1 הגדרהודוגמאות ................................. 9.2 הומומורפיזמיםשלחוגים............................. 9.3 אידאלים..................................... 9.4 חוגימנה..................................... 9.5 משפטיהאיזומורפיזמיםלחוגים..........................
10 חוגיםקומוטטיביים
10.1 תחוםשלמותושדהשברים ............................ 10.2 חילוק,חברותופריקותבתחוםשלמות....................... 10.3 אידאליםמקסימליים .............................. 10.4 אידאליםראשוניים................................ 10.5 משפטהשאריותהסינילחוגים........................... 10.6 תחוםאוקלידי .................................. 10.7 תחוםראשי ................................... 10.8 תחוםפריקותחד-ערכית .............................
10.9 חוגימנהשלחוגהפולינומיםמעלשדה....................... 179 10.10מבואלשדותסופיים ............................... 181 10.11קריטריוניםלאי-פריקותשלפולינומים....................... 184
חלק ג: תורת השדות ותורת גלואה 189
11 הרחבת שדות: מושגים בסיסיים 191
11.1השדה...................................... 191 11.2 הרחבתשדות................................... 193 11.3 הרחבותאלגבריות ................................ 195 11.4 שדותסגוריםאלגברית .............................. 202 11.5 משפטאודותהחבורההכפליתשלשדה ...................... 205
12 בניות בסרגל ובמחוגה 207
12.1 בניותבסיסיות .................................. 207 12.2 בניותבסרגלובמחוגהבשפהאלגברית ....................... 211
13 מבוא לתורת גלואה 218
13.1 חבורתהאוטומורפיזמיםשלשדה ......................... 218
13.2 חבורתהאוטומורפיזמיםשלהרחבתשדות..................... 220
13.2.1 חבורת האוטומורפיזמים של הרחבות אלגבריות פשוטות . . . . . . . . . . 221
13.2.2 חבורת האוטומורפיזמים של הרחבות צקלוטומיות . . . . . . . . . . . . . 223
13.3 שדהפיצולשלפולינום .............................. 224
13.4התאמתגלואה.................................. 226
14 ספרביליות 232
14.1 פולינומיםספרבילייםוהרחבותספרביליות..................... 232 14.2 הרחבתשיכוניםשלשדות............................. 236
15 נורמליות 240
15.1 הרחבותנורמליות ................................ 240
15.2 הרחבותגלואה.................................. 242
15.3 עודעלשדותפיצול ................................ 243
16 המשפט היסודי של תורת גלואה 245
16.1 קריטריוןנוסףלהרחבתגלואהסופית ....................... 245 16.2 המשפטהיסודי.................................. 247
17 מסקנות מתורת גלואה 254
17.1 שדותסופיים................................... 254 17.2 פולינומיםצקלוטומייםומצולעיםמשוכללים.................... 257
17.3 הרחבותפשוטותומשפטהאיברהפרימיטיבי.................... 263
17.4 המשפטהיסודישלהאלגברה ........................... 264
267
269
273
276
278
281
282
286
288
292
294
299
301
301
301
303
305
306
307
308 310
311
18 פתרוןפולינומיםבאמצעותרדיקלים
18.1 הרחבותרדיקליות-פשוטות ............................ 18.2 הרחבותרדיקליותוחבורותגלואהפתירות..................... 18.3 פולינוםבלתיפתירמעלQ ............................ 18.4 המשוואההפולינומיאליתהכללית.........................
18.4.1 הנוסחההכלליתלמשוואהריבועית .................... 18.4.2 הנוסחההכלליתלמשוואהמעוקבת .................... 18.4.3 עודעלפולינומיםסימטריים........................
18.5 חבורותגלואהשלפולינומיםממעלה≥4מעלQ.................. 18.6 רדיקליםבשדותממצייןראשוני..........................
19 דרגתהטרנסצנדנטיותשלהרחבה
נספחים
A שימושים: אלגוריתמים להצפנה וקודים מתקני שגיאות
1.A אלגוריתמיםפומבייםלהצפנה........................... ...........................RSAהאלגוריתםשל A.1.1 1.2.A אלגוריתםההצפנהשלרבין ........................
2.A קודיםמתקנישגיאות............................... 2.1.A קודריד-סולומון ............................. 2.2.A האלגוריתםשלשמירלשיתוף-סוד.....................
B הלמה של צורן C הוכחה אנליטית למשפט היסודי של האלגברה
מפ
