Dies ist eine Einführung in die Theorie der (Wahrscheinlichkeiten der) großen Abweichungen, die mit Hilfe analytischer Methoden die exponentielle Abfallrate sehr kleiner Wahrscheinlichkeiten charakterisiert. Diese Theorie wurde in den 1960er und 1970er Jahren stark ausgeweitet und bis in die jüngste Vergangenheit kontinuierlich auf immer neue probabilistische Strukturen erweitert. Ihre Grundzüge gehören mittlerweile zu den Standardwerkzeugen eines Wahrscheinlichkeitstheoretikers
In der ersten Hälfte werden die grundlegenden Ideen, Konzepte und Werkzeuge der Theorie erläutert, in der zweiten werden Anwendungsbeispiele aus diversen Forschungsgebieten diskutiert, in denen die Theorie entscheidende Ergebnisse ermöglichte, wie Spektren zufälliger Matrizen, eindimensionale Polymerketten oder Bose-Einstein-Kondensation.
Der Text richtet sich an Studierende, die mindestens zwei einführende Vorlesungen der Wahrscheinlichkeitstheorie genossen haben, sowie an Lehrende, die auf der Basis dieses Buches eine fortführende Vorlesung halten möchten. Der Anwendungsteil eignet sich gut für ein studentisches Seminar als Folgeveranstaltung der zugehörigen Vorlesung.
Author(s): Wolfgang König
Series: Mathematik Kompakt
Edition: 1
Publisher: Birkhäuser
Year: 2020
Language: German
Pages: 167
Tags: large deviations, große Abweichungen
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 Der Satz von Cramér
1.1 Ein einführendes Beispiel
1.2 Warum große Abweichungen?
1.3 Ein paar Hilfsmittel
1.4 Der Satz von Cramér
1.5 Der Satz von Cramér ohne exponentielle Momente
2 Prinzipien Großer Abweichungen
2.1 Abstraktes Prinzip Großer Abweichungen
2.2 Irrfahrten und der Satz von Cramér
2.3 Brown'sche Bewegung und die Sätze von Schilder und Strassen
2.4 Empirische Maße und der Satz von Sanov
2.5 Paarempirische Maße von Markovketten
3 Grundlegende Techniken
3.1 Kontraktionsprinzip
3.2 Exponentielle Approximationen
3.3 Das Lemma von Varadhan
3.4 Das Gärtner-Ellis-Theorem
3.5 Anwendungen des Satzes von Gärtner–Ellis
3.6 Aufenthaltsmaße zeitstetiger stochastischer Prozesse
3.6.1 Irrfahrten
3.6.2 Brown'sche Bewegung
3.7 Projektive Grenzwerte
3.8 Markierte Poisson'sche Punktprozesse
4 Ausgewählte Anwendungen
4.1 Testen von Hypothesen
4.2 Das Spektrum zufälliger Matrizen
4.3 Zufällige Polymerketten
4.3.1 Das Modell
4.3.2 Große Abweichungen für eindimensionale Polymerketten
4.3.3 Überblick über den Beweis von Satz 4.3.1
4.3.4 Brownsche Polymermaße
4.4 Das parabolische Anderson-Modell
4.4.1 Das Modell und die Fragestellungen
4.4.2 Momentenasymptotik für die Doppelt-Exponential-Verteilung
4.4.3 Ein „dualer“ Alternativbeweis
4.4.4 Fast sichere Asymptotik
4.4.5 Nach oben beschränkte Potenziale
4.4.6 Fast beschränkte Potenziale
4.5 Eindimensionale Irrfahrten in zufälliger Umgebung
4.5.1 Gesetz der Großen Zahlen und Drift
4.5.2 Prinzip Großer Abweichungen für den Endpunkt
4.5.3 Treffzeiten und der Beweis des Prinzips
4.5.4 Analyse der Ratenfunktion
4.5.5 Vergleich mit der gewöhnlichen Irrfahrt
4.6 Warteschlangen
4.6.1 Begriffe und Fragestellungen
4.6.2 Länge der Schlange
4.6.3 Ein Schalter mit vielen Quellen
4.7 Bose–Einstein-Kondensation
4.7.1 Eine kurze Geschichte
4.7.2 Stochastische Beschreibung der Zustandssumme
4.7.3 Drei Umformulierungen
4.7.4 Zwei Variationsformeln
Literaturverzeichnis
Stichwortverzeichnis
