L'objectif de ce livre est, tout à la fois, d'introduire les méthodes à la base du calcul différentiel, de familiariser le lecteur avec les notions de formes différentielles, éléments de calcul des variations et des applications de la méthode du repère mobile à des courbes et des surfaces. Le contenu du livre se développe progressivement selon une approche qui devrait être utile en particulier aux étudiants qui se destinent à préparer les concours d'enseignement (agrégatifs), ou qui passent des unités UE de calcul différentiel en master, ainsi qu'aux enseignants. Il est aussi de grandes utilités pour les étudiants ingénieurs et les physiciens théoriciens. Le texte est éclairé par des exemples et chaque partie comporte une série d'exercices de niveaux variés. L'ouvrage s'inscrit pour les meilleurs exemples d'effort pédagogique consenti par un mathématicien contemporain de classe internationale.
Author(s): Henri Cartan
Series: Collection Méthodes
Publisher: Hermann
Year: 1967
Language: French
Pages: 183
City: Paris
Tags: Calcul Differentiel, Geometrie Differentielle, analyse
I. FORMES DIFFÉRENTIELLES
Applications multilinéaires alternées
1.1. Définition des applications multilinéaires alternées
1.2. Groupes de permutations
1.3. Propriétés des applications multilinéaires alternées
1.4. Multiplication des applications multilinéaires alternées
1.5. Propriétés de la multiplication extérieure
1.6. Produit extérieur de n formes linéaires
1.7. Cas où E est de dimension finie
Formes différentielles
2.1. Définition des formes différentielles
2.2. Opérations sur les formes différentielles
2.3. L'opération de différentiation extérieure
2.4. Propriétés de l’opération de différentiation extérieure
2.5. Propriété fondamentale de différentiation extérieure
2.6. Formes différentielles sur un espace de dimension finie
2.7. Calcul des opérations sur les formes différentielles en écriture canonique
2.8. Changement de variable dans les formes différentielles
2.9. Propriétés de l'application Φ* du changement de variable
2.10. Calcul de Φ* en écriture canonique
2.11. Transitivité du changement de variable
2.12. Condition pour qu’une forme différentielle soit égale à dx
2.13. Démonstration du théorème de Poincaré
Intégrale curviligne d’une forme différentielle de degré un
3.1 Chemins de classe C'
3.2. Intégrale curviligne
3.3. Changement de paramètre
3.4. Cas où ω est la différentielle d'une fonction
3.5. Forme différentielle fermée de degré un
3.6. Primitive d’une forme fermée le long d’un chemin
3.7. Homotopic de deux chemins
3.8. Ouverts simplement connexes
4. Intégration des formes différentielles de degré >1
41. Partitions différentiables de l’unité
4.2. Compact à bord dans le plan R
4.3. Intégrale d’une 2-forme différentielle sur un compact à bord K
4.4. Théorème de Stokes dans le plan R2
4.5. Démonstration du théorème 4.4.1 (théorème de Stokes)
4.6. Changement de variable dans une intégrale double
4.7. Variétés dans l’espace Rn
4.8. Orientation d’une variété
4.9. Intégration d’une 2-forme différentielle sur une variété compacte orientée de dimension 2 et de classe C'
4.10. Intégrales n-uples
4.11. Formes différentielles sur une variété M ⊆ Rn
4.12. Élément de volume p-dimensionel d’une variété M de dimension p(M ⊆ Rn)
5. Maxima et minima d’une fonction numérique sur une variété
5.1. Conditions du premier ordre
5.2. Conditions du second ordre
6. Théorème de Frobenius
6.1. Position du problème
6.2. Premier théorème d'existence
6.3. Deuxième théorème d'existence
6.4. Fin de la démonstration du deuxième théorème d'existence
6.5. Le théorème fondamental
6.6. Interprétation en termes de formes différentielles
Exercices
II. ÉLÉMENTS DE CALCUL DES VARIATIONS
1. Position du problème
1.1. L'espace des courbes de classe C'
1.2. Fonctionnelle attachée à une courbe
1.3. Un exemple
1.4. Un problème de minimum
1.5. Transformation de la condition pour l'extrémum
1.6. Calcul de f‘(Φ).u pour une extrémale
2. Étude de l'équation d'Euler: existence des extrémales. Exemples
2.1. Équations d'Euler dans le cas où E = Rn
2.2. Exemples
2.3. Équations de Lagrange en mécanique
2.4. Retour au cas général
2.5. Cas où F(x, y) est quadratique-homogène en y
2.6. Cas des géodésiques d’une variété
2.7. Problème d'extrémum pour des courbes assujettics à rester sur une variété
2.8. Transformation de la condition précédente
3. Problèmes à deux dimensions
3.1. Position du problème
3.2. Transformation de la condition pour l’extrémum
APPLICATIONS DE LA MÉTHODE DU REPÈRE MOBILE À LA THÉORIE DES COURBES ET DES SURFACES
1. Le repère mobile
1.1. Définition des formes différentielles ω_i et ω_ij
1.2. Relations auxquelles satisfont les formes ω_i et ω_ij
1.3. Repères orthonormés
1.4. Repères de Frenêt d’une courbe orientée de R3
1.5. Repères de Darboux d’une courbe orientée C tracée sur une surface orientée S de R3
1.6. Calcul de la courbure géodésique, de la courbure normale et de la torsion géodésique
2. Famille à 3 paramètres de repères attachés à une surface de R3
2.1. La variété des repères d’une surface orientée
2.2. Les équations du mouvement du repère attaché à une surface
2.3. Élément d’aire de la surface S
2.4. Deuxième forme quadratique fondamentale de la surface S
2.5. Calcul de la courbure normale et de la torsion géodésique dans une direction donnée
2.6. Directions principales : lignes de courbure
2.7. La forme différentielle de courbure géodésique
2.8. Utilisation d’un champ de repères
2.9. Transport parallèle le long d’une courbe
2.10. Relation entre la courbure totale et le transport parallèle
2.11. Calcul de la courbure totale d’une surface à l’aide de la première forme fondamentale
Exercices
Index
