本書の主題はルベーグ「流」積分論である。ルベーグ積分論というのが通常であろう。あえて「流」とした理由は以下のとおりである。積分論において最も重要かつ頻繁に用いられるのはユークリッド空間における積分である。ルベーグ測度をユークリッド空間における長さ・面積・体積の概念に数学的厳密さをもって一般化し,積分を定義するのが通例である。一方,測度はユークリッド空間における積分に限らず,例えば確率論にも利用される。本書にも記載されているが,平行移動に関して不変な測度は本質的にルベーグ測度に限る。その意味でルベーグ測度は,特殊なものといえる。本書では,ルベーグ測度・積分の理論を他の測度・積分に一般化するという多くの書籍で用いられる方法ではなく,一般の測度・積分の理論を先に展開し,特殊かつ重要な例としてユークリッド空間上のルベーグ測度・積分を取り上げる。それがルベーグ「流」の意味である。初学者であっても一般の測度論・積分論が理解の助けになるようにほとんどすべての問と演習問題に詳細な解答を付けている。ルベーグ積分を初めて学ぶためだけでなく,既にルベーグ積分を修得している者の学び直しの機会を与える書籍となっている。
Author(s): 長澤 壯之
Publisher: 共立出版
Year: 2021
Language: Japanese
Pages: 469
序文
目次
第1章 測度論
1.1 集合に関する演算
1.2 集合関数
1.3 測度空間
1.4 完備測度空間・測度の完備化
1.5 外測度と測度の構成
1.6 1次元Lebesgue測度
1.7 演習問題
第2章 Lebesgue式積分
2.1 写像の逆像
2.2 可測関数とBorel関数
2.3 単関数と可測関数の単関数近似
2.4 単関数のLebesgue式積分
2.5 分布関数
2.6 Archimedes積分
2.7 非負値可測関数のLebesgue式積分
2.8 定符号とは限らない可測関数のLebesgue式積分
2.9 収束定理
2.10 Riemann積分との関係
2.11 複素数値関数のLebesgue式積分
2.12 演習問題
第3章 L^p空間
3.1 可測関数の同値性
3.2 L^p空間と L^p空間(1≦p<∞)
3.3 \tilde{L}^∞空間と L^∞空間
3.4 完備性
3.5 関数列の様々な収束
3.6 距離空間 \tilde{E}
3.7 演習問題
第4章 Fubiniの定理
4.1 Dynkinの定理
4.2 積測度
4.3 有限積
4.4 Fubiniの定理
4.5 d次元Lebesgue測度
4.6 Riemann積分との関係
4.7 合成関数の可測性に関する注意
4.8 Hausdorff測度
4.9 面積公式
4.10 余面積公式
4.11 演習問題
第5章 Radon-Nikodymの定理
5.1 実測度
5.2 分解定理
5.3 絶対連続性・特異性
5.4 Radon-Nikodymの定理
5.5 Radon測度のRadon-Nikodym導関数
5.6 応用1 - L^p 空間の共役空間
5.7 応用2 - 微分積分学の基本定理再訪
5.8 応用3 - Rademacherの定理
5.9 演習問題
問と演習問題の解答
第1章
問1.1
問1.2
問1.3
問1.4, 1.5
問1.6
演習1
第2章
問2.1
問2.2, 2.3, 2.5
問2.7, 2.8
問2.9
問2.10
問2.11
演習2
第3章
問3.2
問3.3
問3.4, 3.5
演習3
第4章
問4.1
問4.4
問4.5
問4.8
問4.9
問4.10
演習4
第5章
問5.1
問5.2
問5.3
問5.4
問5.5
問5.7
問5.8
演習5
参考文献
索引
正誤表(2022年8月4日更新)
