Dieses Lehrbuch präsentiert den Stoff einer mehrsemestrigen Vorlesung zur Analysis äußerst prägnant, aber dennoch verständlich und anschaulich. Mit seiner umfassenden Darstellung des Stoffs von Analysis 1 bis 4 hebt sich das Werk deutlich von anderen ab.
Der Inhalt deckt die in einer heutigen Bachelor-Vorlesung zur Analysis üblichen Themen ab: Ein- und mehrdimensionale Differential- und Integralrechnung, gewöhnliche Differentialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie, Differentialformen und der Satz von Stokes, sowie metrische und allgemeine Topologische Räume.
Neu hinzugekommen in dieser dritten Auflage sind zwei Kapitel zur Komplexen Analysis, die unter anderem den Residuensatz und die Charakterisierung des einfachen Zusammenhangs enthalten.
Author(s): Anton Deitmar
Series: Springer Spektrum Lehrbuch
Edition: 3
Publisher: Springer
Year: 2021
Language: German
Pages: 541
City: Berlin
Tags: reelle Analysis, metrische Räume, Topologie, Differentialgleichungen, Maßtheorie, Differentialformen
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Teil I Differential- und Integralrechnung
Kapitel 1
Mengentheoretische Grundlagen
1.1
Aussagen
1.2
Mengen und Abbildungen
1.3
Komposition
1.4
Produkte und Relationen
1.5
Vollständige Induktion
1.6
Aufgaben und Bemerkungen
Kapitel 2 Die reellen Zahlen
2.1
Zahlbereiche
2.2
Körper
2.3
Anordnung
2.4
Intervalle und beschränkte Mengen
2.5
Dedekind-Vollständigkeit
2.6
Aufgaben und Bemerkungen
Kapitel 3
Folgen und Reihen
3.1
Konvergenz
3.2
Intervallschachtelung
3.3
Teilfolgen
3.4
Reihen
3.5
Absolute Konvergenz
3.6
Konvergenzkriterien für Reihen
3.7
Umordnung
3.8
Die Exponentialreihe
3.9
Aufgaben
Kapitel 4
Funktionen und Stetigkeit
4.1
Funktionen
4.2
Stetige Funktionen
4.3
Sätze über stetige Funktionen
4.4
Der Logarithmus
4.5
Die Exponentialfunktion im Komplexen
4.6
Trigonometrische Funktionen
4.7
Aufgaben
Kapitel 5
Differentialrechnung
5.1
Differenzierbarkeit
5.2
Lokale Extrema, Mittelwertsatz
5.3
Die Regeln von de l'Hospital
5.4
Aufgaben
Kapitel 6
Integralrechnung
6.1
Treppenfunktionen und Integrierbarkeit
6.2
Riemannsche Summen
6.3
Der Hauptsatz
6.4
Uneigentliche Integrale
6.5
Aufgaben
Kapitel 7
Funktionenfolgen
7.1
Gleichmäßige Konvergenz
7.2
Potenzreihen
7.3
Taylor-Reihen
7.4
Fourier-Reihen
7.5
Aufgaben und Bemerkungen
Kapitel 8
Metrische Räume
8.1
Metrik und Vollständigkeit
8.2
Metrische Topologie
8.3
Stetigkeit
8.4
Zusammenhang
8.5
Kompaktheit
8.6
Der Satz von Arzela-Ascoli
8.7
Normierte Vektorräume
8.8
Aufgaben
Teil
II Mehrdimensionale Reelle Analysis
Kapitel 9
Mehrdimensionale Differentialrechnung
9.1
Partielle Ableitungen
9.2
Totale Differenzierbarkeit
9.3
Taylor-Formel und lokale Extrema
9.4
Lokale Umkehrfunktionen
9.5
Implizite Funktionen
9.6
Aufgaben
Kapitel 10
Mehrdimensionale Integralrechnung
10.1
Parameterabhängige Integrale
10.2
Stetige Funktionen mit kompakten Trägern
10.3
Die Transformationsformel
10.4
Der Igelsatz
10.5
Aufgaben
Kapitel 11
Gewöhnliche Differentialgleichungen
11.1
Existenz und Eindeutigkeit
11.2
Maximale Existenzintervalle
11.3
Lineare Differentialgleichungen
11.4
Trennung der Variablen
11.5
Stetige Abhängigkeit
11.6
Aufgaben
Kapitel 12
Topologie
12.1
Abstrakte Topologie
12.2
Stetigkeit
12.3
Kompaktheit und das Lemma von Urysohn
12.4
Erzeuger
12.5
Der Satz von Tychonov
12.6
Der Satz von Stone-Weierstraß
12.7
Die Sätze von Baire und Tietze
12.8
Netze
12.9
Aufgaben und Bemerkungen
Teil
III Maß und Integration
Kapitel 13
Maßtheorie
13.1
Sigma-Algebren
13.2
Messbare Abbildungen
13.3
Maße
13.4
Das Lebesgue-Maß
13.5
Aufgaben
Kapitel 14
Integration
14.1
Integrale positiver Funktionen
14.2
Integrale komplexer Funktionen
14.3
Parameter und Riemann-Integrale
14.4
Der Rieszsche Darstellungssatz
14.5
Signierte Maße
14.6
Aufgaben und Bemerkungen
Kapitel 15
Räume integrierbarer Funktionen
15.1
Hilbert-Räume
15.1.1
Orthonormalbasen
15.1.2
Konvergenz von Fourier-Reihen
15.2
Einige Ungleichungen
15.3
Vollständigkeit
15.4
Der Satz von Lebsgue-Radon-Nikodym
15.5
Aufgaben
Kapitel 16
Produktintegral
16.1
Dynkin-Systeme
16.2
Produktmaße
16.3
Der Satz von Fubini
16.4
Aufgaben und Bemerkungen
Teil
IV Integration auf Mannigfaltigkeiten
Kapitel 17
Differentialformen
17.1
Mannigfaltigkeiten
17.2
Derivationen
17.3
Multilineare Algebra
17.4
Zurückziehen von Differentialformen
17.5
Aufgaben und Bemerkungen
Kapitel 18
Der Satz von Stokes
18.1
Orientierung
18.2
Teilung der Eins
18.3
Orientierung von Hyperflächen
18.4
Der Satz von Stokes
18.5
Poincaré Lemma
18.6
Die Stokes-Formel für Mannigfaltigkeiten
18.7
Der Brouwersche Fixpunktsatz
18.8
Wegintegrale
18.9
Aufgaben
Teil
V Komplexe Analysis
Kapitel 19
Holomorphe Funktionen
19.1
Komplexe Differenzierbarkeit
19.2
Potenzreihen
19.3
Wegintegrale
19.4
Der Integralsatz von Cauchy
19.5
Homotopie
19.6
Cauchys Integralformel
19.7
Holomorpher Logarithmus und Windungszahl
19.8
Potenzreihenentwicklung
19.9
Lokal-gleichmäßige Konvergenz
19.10
Der Residuensatz
19.11
Aufgaben
Kapitel 20
Abbildungssätze
20.1
Lokale Umkehrfunktion und offene Abbildung
20.2
Der Weierstraßsche Faktorisierungssatz
20.3
Mittag-Leffler-Reihen
20.4
Riemanns Abbildungssatz
20.5
Der Satz von Runge
20.6
Einfacher Zusammenhang
20.7
Aufgaben und Bemerkungen
Anhang A
Existenz der reellen Zahlen
A.1
Existenz der reellen Zahlen
A.2
Eindeutigkeit
A.3
Dezimalzahlen
Anhang B
Vollständigkeit
B.1
Cauchy-Vollständigkeit
Literaturverzeichnis
Index