これからの微分積分

表紙
はじめに
目次
第I部　微分と積分（1変数）
第1章　関数の極限
1.1 写像と関数（微積分への序節）
1.2 関数の極限と連続性の定義
1.3 ε-δ 論法再論
1.4 閉区間，半開区間上の連続関数について
1.5 極限の基本的な性質
第2章　微分
2.1 微分の定義
2.2 微分の公式
2.3 高階の微分
第3章　微分の幾何的意味，物理的解釈
3.1 微分と接線
3.2 変化率としての微分
3.3 瞬間移動しない物体の位置について（直観的に明らかなのに証明が難しい定理）
3.4 ロルの定理とその物理現象的な解釈
3.5 平均値の定理とその幾何的な意味
3.6 ベクトルの方向余弦と曲線の接ベクトル
第4章　平均値の定理の応用例をいくつか
4.1 導関数が一致する関数について
4.2 関数の増加・減少の判定
4.3 関数の極限値の計算への応用（ロピタルの定理）
第5章　逆関数の微分
5.1 逆写像，逆関数
5.2 逆関数の例（1）- 逆三角関数-
5.3 逆関数の微分
5.4 逆三角関数の微分
5.5 逆関数の例（2）- 指数関数の逆関数（対数関数）-
5.6 指数関数と対数関数の微分
第6章　テイラーの定理
6.1 テイラーの定理
6.2 テイラー多項式による関数の近似
6.3 テイラーの定理と関数との接触
第7章　極大・極小
7.1 極大・極小の定義
7.2 微分を使って極大・極小を求める
第8章　INTERMISSION 数列の不思議な性質と連続関数
8.1 数列の極限
8.2 上限と下限
8.3 単調増加数列と単調減少数列
8.4 ボルツァノ–ワイエルシュトラスの定理
8.5 数列と連続関数
8.6 中間値の定理，最大値・最小値の存在定理
8.7 一様連続関数
8.8 実数の完備性とその応用
8.9 ニュートン法
8.10 補足指数関数再論
第9章　積分：微分の逆演算としての積分とリーマン積分
9.1 問題は何か？
9.2 関数X(t) を探し出す
9.3 積分登場
9.4 連続関数の積分可能性
9.5 区分的に連続な関数の積分
9.6 積分と微分の関係
9.7 不定積分の計算
9.8 定積分の計算法（置換積分と部分積分）
9.9 積分法のテイラーの定理への応用
9.10 マクローリン展開を用いた近似計算
第II部　微分法（多変数）
第10章　d次元ユークリッド空間（多変数関数の解析の準備）
10.1 d 次元ユークリッド空間とその距離
10.2 開集合と閉集合
10.3 内部，閉包，境界
第11章　多変数関数の連続性と偏微分
11.1 多変数の連続関数
11.2 偏微分の定義（2 変数）
11.3 偏微分の定義（d 変数）
11.4 偏微分の順序交換
11.5 合成関数の偏微分
11.6 平均値の定理
11.7 テイラーの定理
第12章　多変数関数の偏微分の応用
12.1 多変数関数の極大と極小
12.2 極値とヘッセ行列の固有値
12.3 ラグランジュの未定乗数法と陰関数定理
12.4 機械学習と偏微分
第III部　積分法詳論
第13章　1変数関数の不定積分
13.1 不定積分の公式
13.2 有理関数の不定積分
13.3 ∫x^p(ax^q+b)^r dx の計算
13.4 その他の場合の不定積分の計算法
第14章　1階常微分方程式
14.1 原始関数
14.2 変数分離形
14.3 同次形
14.4 1 階線形微分方程式
14.5 クレローの微分方程式
第15章　広義積分
15.1 有界区間上の広義積分
15.2 コーシーの主値積分
15.3 無限区間の広義積分
15.4 広義積分が存在するための条件
第16章　多重積分
16.1 長方形上の積分の定義
16.2 累次積分（逐次積分）
16.3 長方形以外の集合上の積分
16.4 変数変換
16.5 多変数関数の広義積分
16.6 ガンマ関数とベータ関数
16.7 d 重積分
第IV部　発展的話題
第17章　関数列の収束と積分・微分
17.1 各点収束と一様収束
17.2 極限と積分の順序交換
17.3 関数項級数と M 判定法
第18章　写像の微分
18.1 写像の微分
18.2 陰関数定理
18.3 複数の拘束条件のもとでの極値問題
18.4 逆写像定理
第19章　d重積分と変数変換
19.1 d 次元空間における極座標
19.2 d 変数関数の積分の変数変換の公式
さらに発展的な学習へのガイダンス
問題の解答
問題4.3
問題8.3
問題11.4
問題12.4
問題12.7
問題12.11
問題14.2
問題18.4
参考文献
索引
あ・か
さ・た
な・は
ま・や・ら・わ
奥付