Le geometrie non euclidee rappresentano un’importante estensione della geometria classica. La loro fama è legata soprattutto alle loro implicazioni controintuitive del tipo: «per un punto esterno a una retta passano infinite parallele alla retta data» o, al contrario, «non passa nessuna parallela alla retta data».
Il presente volume sottolinea anzitutto come la nascita di tali geometrie (intorno al 1830) sia stata preparata da una secolare tradizione di riflessioni sui postulati euclidei e, in particolare, sul postulato della parallela, la cui formulazione aveva lasciato perplessi già i primi commentatori di Euclide.
Al di là dei contenuti strettamente matematici, la loro novità e carica innovatrice risiede soprattutto nell’atteggiamento intellettuale che ha reso possibile impostare la ricerca geometrica in un modo originale e fecondo di risultati. La discussione sui fondamenti della geometria si innesta così in modo naturale e significativo nella presente esposizione sistematica delle principali geometrie non euclidee.
Per l’impostazione graduale ed esauriente svolta senza presupporre conoscenze matematiche nel lettore e l’attenzione per gli aspetti logici ed epistemologici, il libro si rivolge, oltre che ai cultori di filosofia e di discipline matematiche, a chiunque voglia approfondire la conoscenza di una delle tappe fondamentali del pensiero scientifico ricca, fra l’altro, di interessanti implicazioni per lo studio dello spazio fisico.
Author(s): Agazzi Evandro, Palladino Dario
Series: Biblioteca della EST
Edition: 1
Publisher: Mondadori
Year: 1978
Language: Italian
Pages: 319
City: Milano
Tags: Teoria delle rette parallele; Gli assiomi di Hilbert; La geometria iperbolica; Il modello di Poincaré; La geometria di Riemann
Le geometrie non euclidee
Colophon
Indice
Prefazione
Introduzione: l’idea di dimostrazione e il metodo assiomatico
I. Storia della teoria delle rette parallele
1.1 Premessa
1.2 Gli Elementi di Euclide
1.3 La posizione del V postulato negli Elementi
1.4 Il V postulato presso i Greci
1.5 Il V postulato nel Rinascimento
1.6 L’opera di Girolamo Saccheri
1.7 L’opera di Adrien-Marie Legendre
1.8 I fondatori della geometria non euclidea
1.9 L’opera d i Nikolaj Lobacevskij e János Bolyai
1.10 La diffusione della geometria non euclidea
1.11 L’indirizzo metrico-differenziale e la sua applicazione negli sviluppi delle geometrie non euclidee
1.12 L’indirizzo proiettivo negli sviluppi delle geometrie non euclidee
1.13 Prodromi delle geometrie non archimedee
II. La sistemazione hilbertiana della geometria
2.1 Premessa
2.2 Gli assiomi di Hilbert
2.3 Il problema della continuità
2.4 Conseguenze degli assiomi di continuità
2.5 L’assioma di completezza lineare e i problemi di categoricità
2.6 Questioni di non contraddittorietà della geometria
2.7 Questioni di indipendenza
III. La geometria iperbolica
3.1 Premessa
3.2 Rette parallele e loro proprietà
3.3 Triangoli aperti
3.4 Angolo di parallelismo
3.5 Proprietà principali delle rette incidenti, parallele, iperparallele
3.6 Somma degli angoli di un triangolo e di un poligono
3.7 La teoria dell’area in geometria iperbolica
3.8 Fasci di rette e linee fondamentali della geometria iperbolica piana
3.9 Le proprietà dell’oriciclo
3.10 La geometria iperbolica dello spazio
3.11 Superfici fondamentali della geometria iperbolica dello spazio
3.12 Le proprietà dell’orisfera
3.13 Le funzioni trigonometriche dell’angolo di parallelismo
3.14 Ulteriori sviluppi della geometria iperbolica
3.15 Conclusioni
IV. Il modello di Poincaré
4.1 Premessa
4.2 Proprietà dei cerchi ortogonali
4.3 Il concetto di trasformazione
4.4 L’inversione circolare
4.5 Il birapporto
4.6 Il modello di Poincaré
4.7 Conclusioni
V. La geometria di Riemann
5.1 Premessa
5.2 La geometria sferica
5.3 Un modello di geometria sferica
5.4 La geometria ellittica
5.5 Modelli della geometria ellittica
5.6 Alcuni sviluppi della geometria ellittica piana
5.7 La somma degli angoli di un triangolo
5.8 L’ area dei poligoni
5.9 Ulteriori sviluppi della geometria ellittica piana
5.10 La geometria ellittica dello spazio
5.11 Conclusioni
VI. Altri sistemi geometrici
6.1 Premessa
6.2 La geometria proiettiva
6.3 I modelli proiettivi delle geometrie non euclidee
6.4 La geometria non archimedea
6.5 Altri sistemi geometrici
VII. Considerazioni conclusive
7.1 Premessa
7.2 Il programma di Erlangen e la visione unitaria della geometria
7.3 Il problema della verità delle teorie geometriche
7.4 Geometria e spazio fisico
Bibliografia
Indice analitico
