INFERENCIA VISUAL PARA LAS LOGICAS NORMALES ACCESIBILIDAD ENTRE MUNDOS POSIBLES

En la terminología lógica actual, se dice que la necesidad, la posibilidad, la contingencia y la imposibilidad son modalidades. La rama de la lógica que se ocupa de ellas es la lógica modal. En el simbolismo lógico, las modalidades suelen representarse mediante operadores proposicionales, llamados operadores modales : A : A es necesaria, A : A es posible, A : A es contingente, OA : A es imposible. No ha resultado fácil aclarar el significado de las nociones modales. Pero un hecho importante es que resultan claras las relaciones entre ellas, to-mando como primitiva una cualquiera de ellas, las demás se pueden de-finir en términos de la escogida, es habitual tomar como base el operador necesidad (ver 1.1). Aristóteles escribió sobre modalidades en muchos pasajes de su obra, él estaba consciente de la interdefinibilidad de las nociones modales, des-graciadamente, la teoría Aristotélica del silogismo modal es muy confu-sa. Entre los megáricos contemporáneos de Aristóteles se negaba la diferen-cia entre acto y potencia, y aparentemente esta posición conducía a un rechazo de las distinciones modales. Una generación después, la discu-sión de las modalidades atrajo a los megáricos, y Diodoro Cronos definía Inferencia visual para las lógicas normales 5 lo posible como lo que es o va a ser, lo imposible como lo que siendo falso no será verdadero, lo necesario como lo que siendo verdadero no será falso y lo no necesario como lo que o bien ya es falso o lo será. El pensamiento medieval fue muy rico en discusiones filosóficas sobre modalidades. Los filósofos modernos se han ocupado de las modalidades, pero más en conexión con cuestiones teológicas y metafísicas que en relación con la lógica. En el siglo XX, podemos distinguir 3 etapas : la etapa sintáctica, la etapa semántica y la etapa de la metalógica modal generalizada. La figura más importante de la etapa sintáctica fue C. I. Lewis. La publi-cación del primer volumen de Principia Mathematica de Whitehead y Russell en 1910, influyó mucho sobre su obra, en la lógica proposicional de los Principia son derivables las llamadas paradojas de la implicación material, las más conocidas son : 1. A  (B  A) : una proposición verdadera es implicada materialmente por cualquier proposición, 2. A  (A  B) : una proposición falsa implica materialmente cual-quier proposición, 3. (A  B)  (B  A) : dadas dos proposiciones cualquiera, siempre están relacionadas por la implicación material. El punto de partida de las investigaciones de Lewis, fue la observación de que hay una implicación distinta de la material (llamada implicación estricta), más fuerte que ella y con diferentes leyes fórmales (no valen 1, ni 2, ni 3). Lewis descubrió que era posible construir más de un sistema Manuel Sierra A. 6 modal, en 1932 (la primera publicación fue en 1912) se presentan los sis-temas S1, S2, ... , S5. Los 5 sistemas carecían de una semántica sistemá-tica, todos son extensiones de la lógica proposicional clásica (en la pre-sentación de Lewis ninguno lo es de manera explícita), después del pri-mero cada uno es una extensión propia del anterior. Gödel presentó un sistema modal como extensión explícita de la lógica clásica, quitando un axioma, Feys obtuvo el sistema que ahora llamamos T. S4, S5 y T son los tres sistemas más estudiados (ver capítulo 4). La figura más importante de la etapa semántica fue Kripke, en 1959 con Kripke nace la moderna semántica de los mundos posibles, con ésta se pudo disponer de métodos con los cuales se pueden construir semánticas adecuadas para una gran diversidad de sistemas modales. En la etapa de la metalógica modal generalizada, el interés teórico se desplaza del análisis de sistemas modales particulares al estudio de gran-des familias de tales sistemas, esta etapa se inicia con Lemmon y Scott hacia fines de la década de los años 60. Muchas investigaciones recientes sobre lógica modal caen en dos áreas que se denominan: teoría de la completitud y teoría de la correspondencia. En la teoría de la completitud, se clasifican los conjuntos de fórmulas modales, el grupo más estudiado es el de las lógicas normales (ver capí-tulo 3), una pregunta típica de la teoría de la completitud es : ¿Existe pa-ra cada lógica normal una clase de modelos que la caracterice ? La teoría de la correspondencia, surgió a partir de la observación de cier-tas conexiones entre sistemas modales y propiedades de la relación de accesibilidad entre mundos posibles (ver 1