Mathématiques pour l'informatique

Couverture
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AVANT-PROPOS
CHAPITRE 1 . MOTS, LANGAGES ET ARBRES
1.1 Le type mot
1.1.1 Mots
1.1.2 Concaténation
1.1.3 Monoïdes
1.1.4 Ordre préfixe
1.2 Le type langage
1.2.1 Opérations sur les langages
1.2.2 Homomorphismes
1.2.3 Notion de langage décidable
1.3 Le type arbre
1.3.1 Ordres et graphes
1.3.2 Arbres
1.3.3 Arbres et graphes
1.3.4 Niveaux et branches
1.3.5 Parcours d'arbres
CHAPITRE 2 . MONOïDES ET GROUPES LIBRES
2.1 Structures libres
2.1.1 Variétés équationnelles
2.1.2 Sous-structure engendrée par une partie
2.1.3 Familles libres
2.1.4 Bases
2.1.5 Congruences et quotients
2.2 Monoïdes libres
2.2.1 Familles génératrices
2.2.2 Familles libres
2.2.3 Bases
2.2.4 Congruences
2.2.5 Présentations
2.3 Groupes libres
2.3.1 Construction des groupes libres
2.3.2 Présentations de groupes
CHAPITRE 3 . AUTOMATES
3.1 Automates
3.1.1 La notion d'automate
3.1.2 Langages automatiques
3.2 Construction d'automates
3.2.1 Construction directe
3.2.2 Opérations booléennes
3.2.3 Homomorphismes
3.3 Extensions de la notion d'automate
3.3.1 Automates non déterministes
3.3.2 Epsilon-transitions
CHAPITRE 4 . LANGAGES AUTOMATIQUES
4.1 L'automate minimal d'un langage
4.1.1 Minimalisation d'un automate
4.1.2 Classes à droite suivant un langage
4.1.3 Un exemple important
4.1.4 Applications
4.2 Expressions régulières
4.2.1 Propriétés de clôture
4.2.2 Le théorème de Kleene
4.2.3 Applications
4.2.4 Alphabet à un élément
4.3 Propriétés d'itération
CHAPITRE 5 . GRAMMAIRES FORMELLES
5.1 Réécriture et productions
5.1.1 Règles de réécriture
5.1.2 Productions
5.2 Construction de grammaires
5.2.1 Grammaires régulières
5.2.2 Quelques exemples
5.2.3 Systèmes d'équations dans les langages
5.2.4 Grammaires formelles comme modèles
5.2.5 Opérations sur les langages algébriques
5.3 Grammaires de formes particulières
5.3.1 Suppression des epsilon-productions
5.3.2 Suppression des productions-unité
5.3.3 Forme normale de Chomsky
5.3.4 Forme normale de Greibach
CHAPITRE 6 . ARBRES DE DERIVATION ET AUTOMATES A PILE
6.1 Arbres de dérivation
6.1.1 Arbres de dérivation
6.1.2 La propriété d'itération
6.1.3 Propriétés de non-clôture
6.2 Principe de l'analyse syntaxique
6.2.1 Analyse descendante
6.2.2 Tables d'analyse
6.3 Automates à pile
6.3.1 Automates à pile
6.3.2 Automates à pile déterministes
CHAPITRE 7 . MACHINES DE TURING
7.1 Machines de Turing
7.1.1 Notion générale de calcul
7.1.2 Machines de Turing pour un ruban
7.1.3 Ensemble décidé par une machine de Turing
7.2 Simulation entre machines de Turing
7.2.1 Machines de Turing pour plusieurs rubans
7.2.2 Simulation
7.3 Construction de machines de Turing
7.3.1 Fonctions MT-calculables
7.3.2 Représentation des entiers
7.3.3 Quelques exemples
7.3.4 Indépendance du choix de la base
7.3.5 Propriétés de clôture
7.3.6 Réels MT-calculables
CHAPITRE 8 . FONCTIONS RÉCURSIVES
8.1 Notion de fonction récursive
8.1.1 Définitions de fonctions
8.1.2 Calculabilité
8.1.3 Ensembles récursifs
8.2 Récursivité des fonctions MT-calculables
8.2.1 Fonctions usuelles
8.2.2 Récurrence multiple
8.2.3 Contrôle d'une machine de Turing
8.3 Deux contre-exemples
8.3.1 Le castor affairé
8.3.2 La fonction d'Ackermann
CHAPITRE 9 . COMPLEXITÉ ALGORITHMIQUE
9.1 La thèse de Church
9.1.1 Modèle de calcul
9.1.2 Classes de complexité
9.2 Machines de Turing non déterministes
9.2.1 Résolution et vérification
9.2.2 Complexité non déterministe
9.2.3 Le problème P = NP
9.3 Évaluation d'algorithmes
9.3.1 Algorithmes de tri
9.3.2 Multiplication des entiers
9.3.3 Calcul du pgcd
9.3.4 Multiplication des matrices
CHAPITRE 10 . LOGIQUE BOOLEENNE
10.1 Formules et réalisations
10.1.1 Formules booléennes
10.1.2 Valeurs de vérité
10.1.3 Le théorème de compacité
10.2 Notion de preuve
10.2.1 Preuves par coupure
10.2.2 La méthode de résolution
10.3 Complexité du problème de satisfaisabilité
10.3.1 Le problème SAT
10.3.2 Problèmes NP-complets
CHAPITRE 11 . LOGIQUE DU PREMIER ORDRE
11.1 Calcul des prédicats
11.1.1 Termes et formules
11.1.2 Réalisations et satisfaction
11.1.3 Pouvoir d'expression
11.2 Théorèmes de complétude
11.2.1 Preuves
11.2.2 Applications
11.2.3 La méthode de résolution
11.3 Logique et complexité
11.3.1 Semidécidabilité
11.3.2 Indécidabilité
11.3.3 Incomplétude
11.3.4 Suites de Goodstein
SOLUTIONS DES EXERCICES
BIBLIOGRAPHIE
INDEX