Arithmetik und Algebra

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Einleitender Bericht über das Unternehmen der Herausgabe der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften.
Einleitung
Tabelle, Liste
A. Arithmetik.
1. Grundlagen der Arithmetik. Von H. SCHUBERT in Hamburg. (Abgeschlossen im Juli 1898.)
1. Zählen und Zahl
2. Addition
3. Subtraktion
4. Verbindung von Addition und Subtraktion
5. Null
6. Negative Zahlen
7. Multiplikation
8. Division
9. Verbindung der Division mit der Addition, Subtraktion und Multiplikation
10. Gebrochene Zahlen
11. Die drei Operationen dritter Stufe
2. Kombinatorik. Von E. NETTO in Giessen. (Abgeschlossen im Okt. 1898.)
1. Kombinatorik; historische Würdigung
2. Kombinatorische Operationen. Definitionen
3. Inversion; Transposition
4. Permutationen mit beschränkter Stellenbesetzung
6. Verwandte Permutationen
6. Sequenzen
7. Anwendung auf Fragen der Arithmetik
8. Kombinationen zu bestimmter Summe oder bestimmtem Produkte
9. Kombinationen mit beschränkter Stellenbesetzung
10. Tripelsysteme
11. Ausdehnung des Begriffs der Variation
12. Formeln
13. Binomialkoeffizienten
14. Anwendungen
15. Determinanten. Erklärung des Begriffs
16. Definitionen
17. Anzahl-Probleme hinsichtlich der Glieder
18. Elementare Eigenschaften
19. Laplace'sche und andere Zerlegungssätze
20. Entwicklungen
21. Komposition und Produkt
22. Andere Art von Komposition
23. Zusammengesetzte Determinanten
24. Rang der Derminante
25. Relationen zwischen coaxialen Subdeterminanten
26. Symmetrische Determinanten
27. Rekurrierende Determinanten. Cirkulanten
28. Halbsymmetrische Determinanten
29. Schiefe Determinanten
30. Centrosymmetrische und andere Determinanten
31. Weitere Determinantenbildungen
32. Determinanten höheren Ranges
33. Unendliche Determinanten
34. Matrizen
35. Monographien
3. Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse. Von A. PRINGSHEIM in München. (Abgeschlossen im Sept. 1898.)
1. Irrationalzahlen. Euklid's Verhältnisse und incommensurable Grössen
2. Michael Stifel's Arithmetica integra
3. Der Irrationalzahlbegriff der analytischen Geometrie
4. Das Cantor-DedekincTsche Axiom und die arithmetischen Theorien der Irrationalzahlen
5. Die Theorien von Weierstrass und Cantor
6. Die Theorie von Dedekind
7. Du Bois-Reymond's Kampf gegen die arithmethischen Theorien
8. Die vollkommene Arithmetisierung im Sinne Kronecker's
9. Verschiedene Darstellungsformen der Irrationalzahlen und Irrationalität gewisser Darstellungsformen
10. Verschiedene Darstellungsformen der Irrationalzahlen und Irrationalität gewisser Darstellungsformen (Fortsetzung)
11. Der geometrische Ursprung des Grenzbegriffs
12. Die Arithmetisierung des Grenzbegriffs
13. Das Kriterium für die Grenzwertexistenz
14. Das Unendlichgrosse und Unendlichkleine
15. Oberer und unterer Limes
16. Obere und untere Grenze
17. Das Rechnen mit Grenzwerten. Die Zahl e = lim (1 + 1/v)v
18. Sogenannte unbestimmte Ausdrücke
19. Graduierung des Unendlich- und Nullwerdens
20. Grenzwerte zweifach-unendlicher Zahlenfolgen
21. Unendliche Reihen. Konvergenz und Divergenz
22. Die Konvergenzkriterien von Gauss und Cauchy
23. Die Konvergenzkriterien von Gauss und Cauchy (Fortsetzung)
24. Kummer's allgemeine Kriterien
25. Die Theorien von Dini, du Bois-Reymond und Pringsheim
26. Die Kriterien erster und zweiter Art
27. Die Kriterien erster und zweiter Art (Fortsetzung)
28. Andere Kriterienformen
29. Tragweite der Kriterien erster und zweiter Art
30. Die Grenzgebiete der Divergenz und Konvergenz
31. Bedingte und unbedingte Konvergenz
32. Wertveränderungen bedingt konvergenter Reihen
33. Kriterien für eventuell nur bedingte Konvergenz
34. Addition und Multiplikation unendlicher Reihen
35. Doppelreihen
36. Vielfache Reihen
37. Transformation von Reihen
38. Euler-Mac Laurin'sche Summenformel. Halb konvergente Reihen
39. Divergente Reihen
40. Divergente Potenzreihen
41. Unendliche Produkte. Historisches
42. Konvergenz und Divergenz
43. Umformung von unendlichen Produkten in Reihen
44. Faktoriellen und Fakultäten
45. Kettenstiche. Allgemeine formale Eigenschaften der Kettenbrüche
46. Rekursorische und independente Berechnung der Näherungsbrüche
47. Näherungsbrucheigenschaften besonderer Kettenbrüche
48. Konvergenz und Divergenz unendlicher Kettenbrüche. Allgemeines Divergenzkriterium
49. Kettenbrüche mit positiven Gliedern
50. Konvergente Kettenbrüche mit Gliedern beliebigen Vorzeichens
51. Periodische Kettenbrüche
52. Transformation unendlicher Kettenbrüche
53. Umformung einer unendlichen Reihe in ein äquivalenten Ketteubruch
54. Anderweitige Kettenbruchentwicklungen unendlicher Reihen
65. Kettenbrüche für Potenzreihen und Potenzreihenquotienten
56. Beziehungen zwischen unendlichen Kettenbrüchen und Produkten
57. Aufsteigende Kettenbrüche
58. Unendliche Determinanten. Historisches
59. Haupteigenschaften unendlicher Determinanten
4. Theorie der gemeinen und höheren komplexen Grössen. Von E. STUDY in Greifswald (jetzt Bonn). (Abgeschlossen im Nov. 1898.)
1. Imaginäre Grössen im 17. und 18. Jahrhundert
2. Rechnen mit Grössenpaaren
3. Gemeine komplexe Grossen
4. Absoluter Betrag, Amplitude, Logarithmus
5. Darstellung der komplexen Grossen durch Punkte einer Ebene
6. Darstellung gewisser Transformationsgruppen mit Hilfe gewöhnlicher komplexer Grossen
7. Allgemeiner Begriff eines Systems komplexer Grössen
8. Typen, Gestalten, Eeduzibilität
9. Systeme mit zwei, drei und vier Einheiten
10. Spezielle Systeme mit n2 Einheiten. Bilineare Formen
11. Spezielle Systeme mit kommutativer Multiplikation
12. Komplexe Grossen und Transformationsgruppen
13. Klassifikation der Systeme komplexer Grossen
14. Ansätze zu einer Funktionentheorie und Zahlentheorie der Systeme höherer komplexer Grossen
5. Mengenlehre. Von A. SCHÖNFLIES in Göttingen (jetzt Königsberg i. Pr.). (Abgeschlossen im Nov. 1898.)
1. Häufungsstellen von Punktmengen und deren Ableitungen
2. Der Abzählbarkeitsbegriff und das Kontinuum
3. Cantor's erste Einführung der transfiniten Zahlen
4. Transtinite Mengen. Die Mächtigkeit oder Kardinalzahl
5. Die Ordnungstypen
6. Die wohlgeordneten Mengen und ihre Abschnitte
7. Die Ordnungszahlen und die Zahlklasse Z(...0)
8. Mengen höherer Mächtigkeit
9. Die allgemeinen Rechnungsgesetze der Ordnungszahlen
10. Die Normalform der Ordnungszahlen und die ...-Zahlen
11. Allgemeine Definitionen und Formeln für Punktmengen
12. Allgemeine Lehrsätze über Punktmengen
13. Die abgeschlossenen und perfekten Mengen
14. Zerlegung einer Menge in separierte und homogene Bestandteile
15. Der Inhalt von Punktmengen
16. Das Kontinuum
17. Infinitärkalkül. Die Unendlich (U) der Funktionen
18. Das Axiom des Archimedes und die Stetigkeit
19. Die allgemeinsten Grössenklassen
6. Endliche diskrete Gruppen. Von H. BURKHARDT in Zürich. (Abgeschlossen im Nov. 1898.)
1. Pemutationen und Substitutionen
2. Ordnung einer Substitution
3. Cykeln
4. Analytische Darstellung von Substitutionen
5. Substitutionsgruppen
6. Transitivität, Primitivität
7. Symmetrische und alternierende Gruppe
8. Mögliche Ordnungszahlen von Gruppen
9. Mehrfach transitive Gruppen
10. Lineare homogene Gruppe
11. Gruppe der Modulargleichung
13. Aufzählungen von Gruppen der niedrigsten Grade
12. Andere Untergruppen der linearen homogenen Gruppe
14. Isomorphismus
15. Allgemeiner Gruppenbegriff
16. Normalteiler
17. Kompositionsreihe
18. Isomorphismen einer Gruppe mit sich selbst
19. Erzeugende Operationen. Geometrische Bilder von Gruppen
20. Abel'sche Gruppen
21. Die Sylow'schen Sätze
22. Einfache Gruppen
23. Auflösbare Gruppen
24. Gruppendeterminante
B. Algebra.
1 a. Rationale Funktionen einer Veränderlichen; ihre Nullstellen. Von E. NETTO in Giessen. (Abgeschlossen im Mai 1899.)
1. Definitionen
2. Konstantenzählung. Interpolationsproblem. Partialbrüche
3. Interpolations- und Ausgleichungs-Rechnung
4. Differenzenrechnung
5. Wurzeln und ihre Multiplizität. Nullstellen
6. Ableitung und Stetigkeit
7. Fundamentaltheorem der Algebra
8. Zerlegung in Faktoren
9. Rationalitätsbereich
10. Reduktibilität. Irreduktibilität
11. Teilbarkeitseigenschaften
12. Grösster gemeinsamer Teiler
13. Irreduktible Funktionen
14. Trennung vielfacher Wurzeln
15. Algebraische Kongruenzen
16. Resultantendarstellung
17. Bedingungen für gemeinsame Teiler
18. Eigenschaften der Resultanten
19. Berechnung der Resultanten
20. Diskrimmante
21. Eigenschaften der Diskrimmante
22. Diskriminantenfläche
23. Funktionen mit reellen Nullstellen. Realitätsverhältnisse
24. Hinweise auf angrenzende Gebiete
1 b. Rationale Funktionen mehrerer Veränderlichen. Von E. NETTO in Giessen. (Abgeschlossen im Juli 1899)
1. Definitionen
2. Wurzeln. Â? Identisches Verschwinden
3. Potenzentwicklung gewisser rationaler Funktionen
4. Mehrfache Wurzeln. Â? Unendlich grosse Wurzeln
5. Reduktibilität und Irreduktibilität
6. Elimination. Â? Bézout'sche Methode
7. Poisson'sche Methode. Â? Eliminante
8. Cayley'sche und Sylvester'sche Methode
9. Kronecker sehe Methode. Â? Stufenzahl
10. Minding'sche Regel. Â? Labatie's Theorem
11. Vielfache und unendfiche Wurzeln eines Gleichungssystems
12. Auflösung linearer Gleichungen. Â? Spezielle Eliminationsprobleme
13. Eigenschaften der Eliminante
14. Resultante und ihre Eigenschaften
15. Reduzierte Resultante
16. Reduktibilität und Teilbarkeit von Gleichungssystemen
17. Diskriminante eines Gleichungssystems
18 Diskriminante einer Gleichung
19. Unabhängigkeit von Funktionen
20. Unabhängigkeit von Gleichungen
21. Funktionaldeterminante
22. Hesse'sche Determinante
23. Jacobi's Erweiterung einer Euler'sehen Formel
24. Wurzelrelationen eines Gleichungssystems. Â? Interpolation
25. Charakteristik eines Funktionenssystems
26. Modul- oder Divisorensysteme
27. Weitere Hinweise
1 c. Algebraische Gebilde. Arithmetische Theorie algebraischer Grossen. Von G. LANDSBERG in Heidelberg. (Abgeschlossen im Aug. 1899.)
1. Aufgabe der arithmetischen Theorie der algebraischen Grossen
2. Körper oder Rationalitätsbereiche
3. Ganze Grossen eines Rationalitätsbereiches; Irreduktibilität
4. Konjugierte Körper; Diskriminanten
5. Beziehungen zur Galois'schen Theorie der Gleichungen
6. Fundamentalsysteme
7. Arten oder Spezies
8. Zerlegung der ganzen Grossen in Primdivisoren oder Primideale
9. Darstellung der Primdivisoren durch Association enthaltender Gattungen oder durch Association transzendenter Funktionen
10. Die Fundamentalgleichung
11. Ausführung der arithmetischen Theorie im Einzelnen
12. Zusammenhang mit der Theorie der Modulsysteme und algebraischen Gebilde
13. Elementare Eigenschaften der Modulsysteme
14. Der Stufenbegriff. Primmodulsysteme
15. Zerlegung in Primmodulsysteme. Diskriminante eines Modulsystemes
16. Anwendungen der Modulsysteme. Komplexe Zahlen mit mehreren Einheiten
17. Dedekind's Theorie der Moduln
18. Sätze von Hubert
19. Verallgemeinerung des Teilbarkeits- und Äquivalenzbegriffes
20. Fundamentalsatz von Noether
21. Modulsysteme zweiter Stufe; ihre Normalformen
22. Darstellung algebraischer Gebilde durch rationale Parameter; Satz von Lüroth
23. Transformation algebraischer Gebilde
2. Invariantentheorie. Von W. FR. MEYER in Königsberg i. Pr. (Abgeschlossen im Sept. 1899.)
1. Keime der Theorie
2. Entwicklung des Invariantenbegriffes
3. Äquivalenz von quadratischen und bilinearen Formen und Formenscharen
4. Äquivalenz von Formen höherer als der zweiten Ordnung
5. Automorphe Formen. Invarianten endlicher Gruppen
6. Formenverwandtschaft. Endlichkeit
7. Associierte Formen und typische Darstellung
8. Syzygien
9. Abzählende Eichtung
10. Kanonisierung
11. Umkehrfragen. Irrationale Formen
12. Invariantive Prozesse. Symbolik und graphische Darstellung
13. Aronhold's Prozess. Polaren
14. Überschiebungs- und ß-Prozess. Normierung einer linearen Differentialgleichung
15. Substitution einseitiger Ableitungen
16. Substitution homogener Ableitungen
17. Reihenentwicklungen
18. Differentialgleichungen der Komitanten
19. Erweiterungen. Höhere Transformationen
20 Die erweiterte projektive Gruppe. Reciprokanten und Differentialinvarianten
21. Projektive Invarianten der Krümmungstheorie
22. Differentialformen und Differentialparameter der Flächenthorie
23. Besondere Gruppen und Formen. Seminvarianten
24. Kombinanten und Apolarität
25. Resultanten und Diskriminanten
26. Realitätsfragen
27. Weitere spezielle Formen und Gruppen
3 a. Separation und Approximation der Wurzeln. Von C. RUNGE in Hannover. (Abgeschlossen im Sept. 1899.)
1. Einleitung
2. Separation der Wurzeln. Grenzen für die Wurzeln
3. Die Differenzengleichung
4. Descartes' Zeichenregel und Budan-Fourier's Satz
5. Der Stürmische Satz
6. Cauchy's Integral
7. Charakteristiken-Theorie
8. Die quadratischen Formen im Zusammenhang mit dem Sturm'schen Satz B366
9. Numerisches Beispiel für die Separation
10. Approximation der Wurzeln. Das Newton'sche Verfahren
11. Allgemeinere Verfahren
12. Horner's Schema
13. Bernoulli's Verfahren
14. Graeffe's Verfahren
15. Die Approximation für den Fall mehrerer Veränderlichen
3 b. Rationale Funktionen der Wurzeln; symmetrische und Affektfunktionen. Von K. TH. VAHLEN in Königsberg i. Pr. (Abgeschlossen im Sept. 1899.)
1. Symmetrische Funktionen einer Grössenreihe; Definition, Hauptsatz, Bezeichnung; Anzahlen
2. Formeln und Verfahren von Gramer, Newton, Girard, Waring, Faà di Bruno
3. Reduktion einer Funktion nach Waring u. Gauss, nach Cauchy u. Kronecker
4. Das Cauchy'sche Verfahren und seine Verallgemeinerung durch Transon
5. Erzeugende Funktionen von Borchardt und Kronecker
6. Fundamentalsysteme
7. Sätze über Grad und Gewicht; Klassifikationen
8. Partielle Differentialgleichungen und Differentialoperatoren
9. Tabellen; tabellarische Gesetze. Das Cayley-Betti'sche Symmetriegegetz und seine Verallgemeinerung durch Mac Mahon
10. Mac Mahon's neue Theorie der symmetrischen Funktionen
11. Beziehungen zur Zahlentheorie
12. Spezielle symmetrische Funktionen
13. Symmetrische Funktionen von Wurzeldifferenzen; Seminvarianten
14. Zweiwertige und alternierende Funktionen
15. Mehrwertige Affektfunktionen. Gruppe
16. Allgemeine Sätze von Lagrange, Galois, Jordan
17. Mögliche Wertezahlen
18. Herstellung von Affektfunktionen, Kirkman's Problem
19. Aufzählungen
20. Rationalwerden von Affektfunktionen; Affekt einer Gleichung
21. Cyklische, cykloidische, metacyklische Funktionen
22. Durch Wurzeln auflösbare Gleichungen. Durch Quadratwurzeln auf lösbare Gleichungen
23. Gleichungen 7ten Grades, deren 30-wertige Affektfunktionen rational sind
24. Funktionen von mehreren Variabeinreihen, Wurzeln von Gleichungssystemen. Berechnung symmetrischer Funktionen nach Poisson, v. Escherich
25. Symmetrische Funktionen von Reihen von Variabein, die von einander unabhängig sind. Sätze, Formeln, Verfahren von Mertens, Waring, Schläfli, Mac Mahon, Junker
26. Relationen zwischen den elementar-symmetrischen Funktionen: Brill und Junker
27. Allgemeinere Funktionen
3 c, d. Gralois'sche Theorie mit Anwendungen. Von O. HÖLDER in Leipzig. (Abgeschlossen im Okt. 1899.)
1. Einleitung
2. Definition der Gruppe einer Gleichung
3. Weitere Eigenschaften der Gruppe
4. Wirkliche Herstellung der Gruppe
5. Monodromiegruppe
6. Transitivität und Primitivität
7. Adjunktion einer natürlichen Irrationalität
8. Cyklische Gleichungen
9. Reine Gleichungen
10. Zerlegung des Gleichungsproblems durch Resolventenbildung
11. Adjunktion einer accessorischen Irrationalität
12. Adjunktion eines Radikals
13. Begriff der Auflösung
14. Kriterium der Auflösbarkeit
15. Behandlung nicht auflösbarer Gleichungen
16. Allgemeine Gleichungen
17. Gleichungen der ersten vier Grade
18. Nichtauflösbarkeit der allgemeinen Gleichungen höherer Grade
19. Gleichungen mit regulärer Gruppe
20. Gleichungen mit kommutativer (permutabler) Gruppe
21. Abel'sche Gleichungen
22. Kreisteilungsgleichungen
23. Teilungs- und Transformationsgleichungen der elliptischen Funktionen
24. Reduktion von Gleichungen auf Normalformen
25. Irreducible Gleichungen von Primzahlgrad
26. Sylow'sche Gleichungen
27. Casus irreducibilis der kubischen Gleichung
28. Konstruktion mit Zirkel und Lineal
29. Geometrische Gleichungen
3 e. Gleichungssysteme. (Siehe B 1 b. und B 3 b.).
3 f. Endliche Gruppen linearer Substitutionen. Von A. WIMAN in Lund. (Abgeschlossen im Dez. 1899.)
1. Periodische Substitutionen
2. Endliche binäre Gruppen
3. Erweiterungen
4. Algebraisch integrierbare lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
5. Endliche tern'äre Gruppen
6. Algebraisch integrierbare lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
7. Gruppen aus den regulären Körpern in höheren Räumen
8. Invariante definite Hermite'sche Formen
9. Erste Auflösung der Gleichungen 5. Grades
10. Lösung durch Vermittlung der Jacobi'schen Gleichungen 6. Grades
11. Satz betreffend die Möglichkeit von Resolventen mit nur einem Parameter
12. Lösung durch die Ikosaederirrationalität
13. Zurückführung der Gleichungen 5. Grades auf ein ternäres Formenproblem
14. Auflösung durch elliptische Transformationsgrössen und hypergeometrische Funktionen
15. Die allgemeinen algebraischen Formenprobleme
16. Gleichungen 7. Grades mit einer Gruppe von 168 Substitutionen
17. Kollineationsgruppen der elliptischen Normalkurven
18. Gruppen aus der elliptischen Transformationstheorie
19. Mit den Gleichungen 6. u. 7. Grades isomorphe quaternäre Formenprobleme
20. Reduktion der allgemeinen Gleichungen 6. Grades auf ein ternäres Formenproblem
21. Satz über die allgemeinen Gleichungen höheren Grades
22. Quaternäre Gruppe von 11520 Kollineationen
23. Quaternäre und quinäre Gruppen aus der Dreiteilung der hyperelliptischen Funktionen
24. Gruppen von eindeutigen Transformationen einer algebraischen Kurve in sich
25. Endliche Gruppen von birationalen Transformationen
26 Erweiterung auf unendliche diskontinuierliche Gruppen