本书全面展现了微积分发展各阶段的重要成果，内容丰富，语言精炼。本书特别注意理论与实际相结合，古典分析方法与现代分析方法相结合，采用严格而又自然的证明方法，辅以丰富的实例和精选的习题，以使学生得到充分的学术训练。第二版对重要概念引进的动机部分进行了完善，注重传授分析学的思想方法。
全书共分十五章，可供三学期教学之用。前五章讨论一元微积分，引入了连续函数的积分并得到微积分基本公式，进而讨论了积分在经典不等式证明方面的应用；第六章讨论黎曼积分及其推广，特点是与数列的极限理论对比发展，并且引入了零测集的概念，以更透彻地刻画可积函数；第七章至第九章介绍各种级数理论，除了对级数理论中的各种判别法做了更精炼的处理外，还安排了若干重要的应用，包括在近似计算和数论方面的应用；第十章起是多元微积分的内容，特点是较多地使用线性代数的语言来处理多元微分学中的重要结果（包括中值定理、反函数定理、拉格朗日乘数法等），以及更好地处理积分学中的重要结果（如可积性的刻画、变量替换公式、各种积分之间的关系等）。
本书在南京大学数学系使用多年，可作为综合性大学数学类专业数学分析课程的教材或教学参考书，特别适用于国家理科基地班的微积分教学，还可供科技工作者参考。
Author(s): 梅加强
Edition: 2
Publisher: 高等教育出版社
Year: 2020
Language: Chinese
Commentary: 带扩展阅读
Pages: 524
City: 北京
封面
版权
第二版前言
第一版前言
目录
第一章 引言
1.1 从求和谈起
1.2 比较与估计
1.3 逻辑与证明
1.4 附录: 实数系的构造
第二章 极限
2.1 数列极限
2.1.1 数列极限的定义
2.1.2 数列极限的基本性质
2.2 单调数列的极限
2.3 Cauchy准则
2.4 Stolz公式
2.5 实数系的基本性质
第三章 连续函数
3.1 函数的极限
3.1.1 定义和基本性质
3.1.2 重要的函数极限
3.1.3 进一步的例子和性质
3.2 无穷小(大)量
3.3 连续函数
3.3.1 定义和基本性质
3.3.2 间断点和振幅
3.4 连续函数的基本性质
3.4.1 最值定理和介值定理
3.4.2 一致连续性
3.5 连续函数的积分
3.5.1 积分的定义和基本性质
3.5.2 积分的计算
3.5.3 积分的应用
第四章 微积分基本公式
4.1 导数和微分
4.1.1 导数和高阶导数
4.1.2 微分和全微分
4.2 Newton-Leibniz公式
4.3 积分的计算方法
4.3.1 分部积分法
4.3.2 换元积分法
4.3.3 有理函数的积分
4.3.4 有理三角函数的积分
4.3.5 某些无理函数的积分
4.4 简单的微分方程
第五章 微分学的应用
5.1 函数的极值
5.2 微分中值定理
5.3 凸函数
5.4 函数和曲线作图
5.5 L'Hospital法则
5.6 Taylor展开
5.7 进一步应用举例
5.7.1 Jensen不等式的余项
5.7.2 Newton方法
5.7.3 Stirling公式
5.7.4 积分的近似计算
第六章 积分的推广和应用
6.1 Riemann积分
6.2 Riemann积分的性质
6.3 广义积分
6.4 广义积分的收敛判别法
6.5 积分的几何应用
6.5.1 曲线的长度
6.5.2 简单图形的面积
6.5.3 简单立体的体积
6.6 进一步的例子
第七章 数项级数
7.1 级数的收敛与发散
7.2 正项级数的敛散性
7.3 无穷乘积
7.4 数项级数的进一步讨论
7.4.1 级数的乘积
7.4.2 Abel求和与Cesàro求和
7.4.3 级数的重排
7.4.4 级数求和与极限的可交换性
第八章 函数项级数
8.1 一致收敛
8.2 求和与求导、积分的可交换性
8.3 幂级数
8.3.1 收敛半径及基本性质
8.3.2 Taylor展开与幂级数
8.3.3 幂级数的乘法和除法运算
8.3.4 母函数方法
8.4 函数项级数的进一步讨论
8.4.1 近似计算
8.4.2 用级数构造函数
第九章 Fourier分析
9.1 Fourier级数
9.2 Fourier级数的收敛性
9.3 Parseval恒等式
9.4 Fourier级数的进一步讨论
9.4.1 平均收敛性
9.4.2 一致收敛性
9.4.3 Fourier系数的唯一性
9.4.4 Fourier级数的复数表示
9.4.5 Fourier积分初步
第十章 度量空间和连续映射
10.1 内积和度量
10.2 极限和连续性
10.3 最值定理与介值定理
10.4 完备性及其应用
第十一章 多元函数的微分
11.1 方向导数和微分
11.2 切线和切面
11.3 链式法则
11.4 拟微分中值定理
11.5 逆映射定理和隐映射定理
11.6 多元函数的极值
11.7 Lagrange乘数法
11.8 多元函数微分的补充材料
11.8.1 外积运算
11.8.2 二次型与极值
11.8.3 函数的相关性和独立性
第十二章 多元函数的积分
12.1 二重Riemann积分
12.2 多重积分及其基本性质
12.3 重积分的计算
12.4 重积分的变量替换
12.4.1 仿射变换
12.4.2 一般的变量替换
12.4.3 极坐标变换
12.5 重积分的应用和推广
第十三章 曲线积分与曲面积分
13.1 第一型曲线积分
13.2 第二型曲线积分
13.3 第一型曲面积分
13.4 第二型曲面积分
13.5 几类积分之间的联系
13.5.1 余面积公式
13.5.2 Green公式
13.5.3 Gauss公式
13.5.4 Stokes公式
13.6 附录: Riemann-Stieltjes积分
13.6.1 有界变差函数
13.6.2 Riemann-Stieltjes积分
第十四章 微分形式的积分
14.1 欧氏空间中的微分形式
14.2 微分形式之间的运算
14.3 Gauss-Green公式
14.4 不动点定理和毛球定理
第十五章 含参变量的积分
15.1 含参变量的积分
15.2 含参变量的广义积分
15.2.1 一致收敛及其判别法
15.2.2 一致收敛积分的性质
15.3 特殊函数
15.3.1 Β函数的基本性质
15.3.2 Γ函数的基本性质
15.3.3 进一步的性质
15.3.4 Stirling公式
15.4 Fourier变换回顾
15.5 补充材料
15.5.1 积分次序的可交换性
15.5.2 Fourier分析的相关应用
参考文献
索引
扩展阅读
自然常数的超越性
彩虹中的数学
Bernoulli数的由来
迭代与反函数定理
微分形式与毛球定理
第一章综合自测题
第二章综合自测题
第三章综合自测题
第四章综合自测题
第五章综合自测题
第六章综合自测题
第七章综合自测题
第八章综合自测题
第九章综合自测题
第十章综合自测题
第十一章综合自测题
第十二章综合自测题
第十三章综合自测题
第十四章综合自测题
第十五章综合自测题
第一章综合自测题答案
第二章综合自测题答案
第三章综合自测题答案
第四章综合自测题答案
第五章综合自测题答案
第六章综合自测题答案
第七章综合自测题答案
第八章综合自测题答案
第九章综合自测题答案
第十章综合自测题答案
第十一章综合自测题答案
第十二章综合自测题答案
第十三章综合自测题答案
第十四章综合自测题答案
第十五章综合自测题答案
