普林斯顿概率论读本

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写给读者的话
如何使用本书
目录
第一部分　一般性理论
第1章　引言
1.1　生日问题
1.1.1　陈述问题
1.1.2　解决问题
1.1.3　对问题和答案的推广：效率
1.1.4　数值检验
1.2　从投篮到几何级数
1.2.1　问题和解答
1.2.2　相关问题
1.2.3　一般问题的解决技巧
1.3　赌博
1.3.1　2008年超级碗赌注
1.3.2　预期收益
1.3.3　对冲的价值
1.3.4　结论
1.4　总结
1.5　习题
第2章　基本概率定律
2.1　悖论
2.2　集合论综述
2.2.1　编程漫谈
2.2.2　无穷大的大小和概率
2.2.3　开集和闭集
2.3　结果空间、事件和概率公理
2.4　概率公理
2.5　基本概率规则
2.5.1　全概率公式
2.5.2　并的概率
2.5.3　包含的概率
2.6　概率空间和¾ 代数
2.7　附录：实验性地找出规律
2.7.1　乘积求导法则
2.7.2　并的概率
2.8　总结
2.9　习题
第3章　计数I：纸牌
3.1　阶乘和二项式系数
3.1.1　阶乘函数
3.1.2　二项式系数
3.1.3　总结
3.2　扑克牌
3.2.1　规则
3.2.2　最小牌型
3.2.3　对子
3.2.4　两对
3.2.5　三条
3.2.6　顺子、同花和同花顺
3.2.7　葫芦和铁支
3.2.8　扑克牌型练习I
3.2.9　扑克牌型练习II
3.3　单人纸牌
3.3.1　克朗代克纸牌
3.3.2　Aces Up纸牌
3.3.3　《空当接龙》
3.4　桥牌
3.4.1　井字游戏
3.4.2　桥牌牌局的个数
3.4.3　将牌的分配
3.5　附录：计算概率的代码
3.5.1　将牌的分配和代码
3.5.2　扑克牌型的代码
3.6　总结
3.7　习题
第4章　条件概率、独立性和贝叶斯定理
4.1　条件概率
4.1.1　猜测条件概率公式
4.1.2　期望计数法
4.1.3　文氏图法
4.1.4　蒙提霍尔问题
4.2　一般乘法法则
4.2.1　陈述
4.2.2　扑克牌的例子
4.2.3　帽子问题和纠错码
4.2.4　高等注解：条件概率的定义
4.3　独立性
4.4　贝叶斯定理
4.5　划分和全概率法则
4.6　回顾贝叶斯定理
4.7　总结
4.8　习题
第5章　计数II：容斥原理
5.1　阶乘和二项式问题
5.1.1　“有多少个”与“概率是什么”
5.1.2　选组
5.1.3　循环次序
5.1.4　选择套装
5.2　容斥方法
5.2.1　容斥原理的特例
5.2.2　容斥原理的陈述
5.2.3　容斥公式的证明
5.2.4　利用容斥原理：同花色牌型
5.2.5　从“至少”到“恰好”的方法
5.3　错排
5.3.1　错排的个数
5.3.2　错排数的概率
5.3.3　错排试验的代码
5.3.4　错排的应用
5.4　总结
第6章　计数III：高等组合学
6.1　基本计数
6.1.1　枚举法I
6.1.2　枚举法II
6.1.3　有放回抽样和无放回抽样
6.2　单词排序
6.2.1　排序方法数
6.2.2　多项式系数
6.3　划分
6.3.1　饼干问题
6.3.2　彩票
6.3.3　其他划分
6.4　总结
6.5　习题
第二部分　随机变量
第7章　离散型随机变量
7.1　离散型随机变量：定义
7.2　离散型随机变量：概率密度函数
7.3　离散型随机变量：累积分布函数
7.4　总结
7.5　习题
第8章　连续型随机变量
8.1　微积分基本定理
8.2　概率密度函数和累积分布函数：定义
8.3　概率密度函数和累积分布函数：例子
8.4　单元素事件的概率
8.5　总结
8.6　习题
第9章　工具：期望
9.1　微积分预备知识
9.2　期望值和矩
9.3　均值和方差
9.4　联合分布
9.5　期望的线性性质
9.6　均值和方差的性质
9.7　偏斜度与峰度
9.8　协方差
9.9　总结
9.10　习题
第10章　工具：卷积和变量替换
10.1　卷积：定义和性质
10.2　卷积：掷骰子的例子
10.2.1　理论计算
10.2.2　卷积码
10.3　多变量的卷积
10.4　变量替换公式：叙述
10.5　变量替换公式：证明
10.6　附录：随机变量的乘积与商
10.6.1　乘积的概率密度函数
10.6.2　商的概率密度函数
10.6.3　例子：指数分布的商
10.7　总结
10.8　习题
第11章　工具：微分恒等式
11.1　几何级数的例子
11.2　微分恒等式法
11.3　在二项分布随机变量上的应用
11.4　在正态分布随机变量上的应用
11.5　在指数分布随机变量上的应用
11.6　总结
11.7　习题
第三部分　特殊分布
第12章　离散分布
12.1　伯努利分布
12.2　二项分布
12.3　多项分布
12.4　几何分布
12.5　负二项分布
12.6　泊松分布
12.7　离散均匀分布
12.8　习题
第13章　连续型随机变量：均匀分布与指数分布
13.1　均匀分布
13.1.1　均值和方差
13.1.2　服从均匀分布的随机变量之和
13.1.3　例子
13.1.4　均匀地生成随机数
13.2　指数分布
13.2.1　均值和方差
13.2.2　服从指数分布的随机变量之和
13.2.3　服从指数分布的随机变量的例子与应用
13.2.4　从指数分布中生成随机数
13.3　习题
第14章　连续型随机变量：正态分布
14.1　确定标准化常数
14.2　均值和方差
14.3　服从正态分布的随机变量之和
14.3.1　情形1：μ_X=μ_Y = 0 且σ^2X=σ^2Y=1
14.3.2　情形2：一般化的μ_X、μ_Y 和σ^2X、σ^2Y
14.3.3　两个服从正态分布的随机变量之和：更快的代数运算
14.4　从正态分布中生成随机数
14.5　例子与中心极限定理
14.6　习题
第15章　伽马函数与相关分布
15.1　Γ(s) 的存在性
15.2　Γ((s) 的函数方程
15.3　阶乘函数与Γ(s)
15.4　Γ(s) 的特殊值
15.5　贝塔函数与伽马函数
15.5.1　基本关系式的证明
15.5.2　基本关系式和Γ(1=2)
15.6　正态分布与伽马函数
15.7　分布族
15.8　附录：余割等式的证明
15.8.1　余割等式：第一种证明
15.8.2　余割等式：第二种证明
15.8.3　余割等式：s = 1/2 的特殊情形
15.9　柯西分布
15.10　习题
第16章　卡方分布
16.1　卡方分布的起源
16.2　X ~ χ2(1) 的均值与方差
16.3　卡方分布与服从正态分布的随机变量之和
16.3.1　直接积分求平方和
16.3.2　利用变量替换定理求平方和
16.3.3　卷积法求平方和
16.3.4　服从卡方分布的随机变量之和
16.4　总结
16.5　习题
第四部分　极限定理
第17章　不等式和大数定律
17.1　不等式
17.2　马尔可夫不等式
17.3　切比雪夫不等式
17.3.1　陈述
17.3.2　证明
17.3.3　正态分布与均匀分布的例子
17.3.4　指数分布的例子
17.4　布尔不等式与邦弗伦尼不等式
17.5　收敛类型
17.5.1　依分布收敛
17.5.2　依概率收敛
17.5.3　几乎必然收敛与必然收敛
17.6　弱大数定律与强大数定律
17.7　习题
第18章　斯特林公式
18.1　斯特林公式与概率
18.2　斯特林公式与级数的收敛性
18.3　从斯特林公式到中心极限定理
18.4　积分判别法与较弱的斯特林公式
18.5　得到斯特林公式的基本方法
18.5.1　二进分解
18.5.2　斯特林公式的下界I
18.5.3　斯特林公式的下界II
18.5.4　斯特林公式的下界III
18.6　静态相位与斯特林公式
18.7　中心极限定理与斯特林公式
18.8　习题
第19章　生成函数与卷积
19.1　动机
19.2　定义
19.3　生成函数的唯一性和收敛性
19.4　卷积I：离散型随机变量
19.5　卷积II：连续型随机变量
19.6　矩母函数的定义与性质
19.7　矩母函数的应用
19.8　习题
第20章　中心极限定理的证明
20.1　证明的关键思路
20.2　中心极限定理的陈述
20.3　均值、方差与标准差
20.4　标准化
20.5　矩母函数的相关结果
20.6　特殊情形：服从泊松分布的随机变量之和
20.7　利用MGF证明一般的CLT
20.8　使用中心极限定理
20.9　中心极限定理与蒙特卡罗积分
20.10　总结
20.11　习题
第21章　傅里叶分析与中心极限定理
21.1　积分变换
21.2　卷积与概率论
21.3　中心极限定理的证明
21.4　总结
21.5　习题
第五部分　其他主题
第22章　假设检验
22.1　Z检验
22.1.1　原假设与备择假设
22.1.2　显著性水平
22.1.3　检验统计量
22.1.4　单侧检验与双侧检验
22.2　p值
22.2.1　非凡的主张与p值
22.2.2　大的p值
22.2.3　关于p值的误解
22.3　t检验
22.3.1　估算样本方差
22.3.2　从z检验到t检验
22.4　假设检验的问题
22.4.1　I型错误
22.4.2　II型错误
22.4.3　错误率与司法系统
22.4.4　功效
22.4.5　效应量
22.5　卡方分布、拟合优度
22.5.1　卡方分布与方差检验
22.5.2　卡方分布与t分布
22.5.3　列表数据的拟合优度
22.6　双样本检验
22.6.1　双样本z检验：方差已知
22.6.2　双样本t检验：方差未知但相等
22.6.3　方差未知且不相等
22.7　总结
22.8　习题
第23章　差分方程、马尔可夫过程和概率论
23.1　从斐波那契数到轮盘赌
23.1.1　翻倍加一策略
23.1.2　对斐波那契数的快速回顾
23.1.3　递推关系与概率
23.1.4　讨论与推广
23.1.5　轮盘赌问题的代码
23.2　递推关系的一般理论
23.2.1　表示法
23.2.2　特征方程
23.2.3　初始条件
23.2.4　关于不同根意味着可逆性的证明
23.3　马尔可夫过程
23.3.1　递推关系与种群动力学
23.3.2　一般的马尔可夫过程
23.4　总结
23.5　习题
第24章　最小二乘法
24.1　问题的描述
24.2　概率论与统计学回顾
24.3　最小二乘法
24.4　习题
第25章　两个著名问题与一些代码
25.1　婚姻/秘书问题
25.1.1　假设与策略
25.1.2　成功的概率
25.1.3　秘书问题的代码
25.2　蒙提霍尔问题
25.2.1　一个简单的解决方案
25.2.2　一种极端情形
25.2.3　蒙提霍尔问题的代码
25.3　两个随机程序
25.3.1　有放回取样与无放回取样
25.3.2　期望
25.4　习题
附录A　证明技巧
A.1　如何阅读证明
A.2　归纳法证明
A.2.1　整数之和
A.2.2　整除
A.2.3　二项式定理
A.2.4　斐波那契数模2
A.2.5　错误的归纳法证明
A.3　分组证明
A.4　利用对称性证明
A.5　蛮力证明
A.6　通过比较或故事来证明
A.7　反证法
A.8　穷举法(分治法)
A.9　举反例证明
A.10　通过推广例子来证明
A.11　狄利克雷鸽巢原理
A.12　添加0或乘以1的证明法
附录B　分析学结果
B.1　介值定理与中值定理
B.2　极限、求导和积分次序的交换
B.2.1　交换次序: 定理
B.2.2　交换次序: 例子
B.3　级数的收敛性判别法
B.4　大O表示法
B.5　指数函数
B.6　柯西--施瓦兹不等式的证明
B.7　习题
附录C　可数集与不可数集
C.1　集合的大小
C.2　可数集
C.3　不可数集
C.4　有理数集的长度
C.5　康托尔集的长度
C.6　习题
附录D　复分析与中心极限定理
D.1　来自实分析的警告
D.2　复分析与拓扑定义
D.3　复分析与矩母函数
D.4　习题
版权声明