La théorie des ensembles. Introduction à une théorie de l'infini et des grands cardinaux

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Avant-propos
Partie A. Théorie élémentaire
I. Le type « ensemble »
1. Pourquoi une théorie des ensembles ?
1.1. La notion d'ensemble
1.2. Utilité des ensembles
1.3. Premiers résultats, premiers problèmes
2. Opérations ensemblistes
2.1. Le treillis des parties d'un ensemble
2.2. Les algèbres de Boole comme structures algébriques
2.3. Algèbres de Boole finies
3. Ébauche d'une théorie des ensembles
3.1. Une tentative naïve
3.2. Le système de Cantor
3.3. Le paradoxe de Berry
3.4. Le paradoxe de Russell
3.5. Ensembles purs et système de Zermelo
II. Les ordinaux
1. Les bons ordres
1.1. Relations bien fondées et bons ordres
1.2. Rigidité et comparabilité des bons ordres
1.3. Opérations sur les bons ordres
2. Une construction des ordinaux
2.1. Ensembles transitifs et ordinaux
2.2. L'ordre sur les ordinaux
2.3. Borne supérieure ; ordinaux limites
2.4. Le théorème de comparaison
3. L'arithmétique ordinale
3.1. L'addition ordinale
3.2. La multiplication ordinale
3.3. L'exponentiation ordinale
3.4. Ordinaux non dénombrables
4. Deux applications
4.1. Le théorème de Cantor-Bendixson
4.2. Le théorème de Goodstein
III. Le système de Zermelo-Fraenkel
1. Représentation par des ensembles purs
1.1. Ensembles purs
1.2. Représentation des entiers naturels
1.3. Représentation des couples et des fonctions
1.4. Représentation de tous les objets mathématiques
2. Axiomatisation des ensembles purs
2.1. Extensions par définition
2.2. Représentation des couples et des fonctions
2.3. Construction des ordinaux
2.4. Les axiomes de remplacement
3. Définitions récursives
3.1. Récursion sur les entiers
3.2. Récursion ordinale
3.3. Récursion ordinale généralisée
4. La théorie des ensembles
4.1. L'axiome de fondation et le système ZF
4.2. La règle du jeu
IV. L'axiome du choix
1. L'axiome du choix
1.1. Fonctions de choix
1.2. Formes alternatives de l'axiome du choix
2. Des applications de l'axiome du choix
2.1. Dénombrement
2.2. Ensembles ordonnés et algèbre
2.3. Topologie et analyse
2.4. Géométrie
3. L'axiome du choix est-il vrai ?
3.1. Une question ambiguë
3.2. Est-il opportun d'adopter l'axiome du choix ?
V. Les cardinaux
1. Cardinaux finis et infinis
1.1. La notion de cardinal
1.2. Dénombrements finis
1.3. Les cardinaux infinis
2. L'arithmétique cardinale
2.1. Opérations à deux arguments
2.2. Sommes et produits infinis
2.3. Les cardinaux sans axiome du choix
3. La cofinalité
3.1. Ensembles cofinaux
3.2. Cardinaux réguliers et singuliers
3.3. Puissance et exponentiation cardinales
4. La combinatoire sur ω_l
4.1. Ensembles clos cofinaux et le théorème de Fodor
4.2. Le théorème de Silver
Partie B. Un peu de logique mathématique
VI. Logique propositionnelle
1. La logique booléenne
1.1. Logiques formelles : syntaxe et sémantique
1.2. La logique booléenne
1.3. Sémantique de la logique booléenne
2. Un théorème de complétude
2.1. Preuve par coupure
2.2. La forme locale du théorème de complétude
2.3. La forme globale du théorème de complétude
VII. Logique du premier ordre
1. Logiques du premier ordre
1.1. Les formules de la logique £_Σ
1.2. Sémantique de la logique £_Σ
1.3. Exprimabilité au premier ordre
2. Le théorème de complétude
2.1. Preuves
2.2. Le théorème de la déduction
2.3. Théories explicitement complètes
2.4. La méthode de Henkin
3. Applications du théorème de complétude
3.1. La méthode sémantique
3.2. Limitations du pouvoir d'expression
3.3. Modèles de l'arithmétique
4. La logique du premier ordre comme modèle
4.1. Modélisation par la logique du premier ordre
4.2. Contexte métamathématique
4.3. Les logiques du second ordre
VIII. Théorèmes de limitation
1. Fonctions et relations récursives
1.1. Fonctions primitives récursives
1.2. Représentation des suites finies
1.3. Fonctions et relations récursives
2. Arithmétisation de la syntaxe
2.1. Numérotation des formules
2.2. Numérotation des preuves
3. L'arithmétique de Robinson
3.1. Modèles du système PA_{faible}
3.2. Absoluité des formules Σ₁
3.3. Représentabilité
4. Indécidabilité et incomplétude
4.1. Le lemme diagonal
4.2. Le théorème d'indécidabilité de Church
4.3. Le théorème de non-définissabilité de la vérité de Tarski
4.4. Le premier théorème d'incomplétude de Gödel
4.5. Le second théorème d'incomplétude de Gödel
IX. Théorie descriptive des ensembles
1. Les boréliens d'un espace polonais
1.1. Les espaces polonais
1.2. La hiérarchie borélienne
1.3. Classification des espaces polonais
2. La hiérarchie projective
2.1. Les ensembles analytiques
2.2. Les ensembles projectifs
2.3. Le théorème de Souslin
3. Les hiérarchies effectives
3.1. Les ensembles récursifs
3.2. Les hiérarchies arithmétique et analytique
3.3. Lien avec les ensembles boréliens et projectifs
Partie C. Théorie axiomatique des ensembles
X. Modèles de ZF
1. La notion de modèle de ZF
1.1. Le modèle d'Ackermann
1.2. Construction de modèles de ZF
1.3. La méthode sémantique en théorie des ensembles
2. Modèles transitifs
2.1. Satisfaction des axiomes de ZF
2.2. Formules et opérations absolues
2.3. Absoluité des formules Δ₁^{ZF}
2.4. Réduction aux modèles transitifs
3. Exemples et applications
3.1. Les structures (V_α,ε) et (H_κ,ε)
3.2. Résultats de non-prouvabilité
XI. Les ensembles constructibles
1. La classe L
1.1. Les opérations de Gödel
1.2. Le schéma de réflexion
1.3. La classe des ensembles constructibles
1.4. L'axiome du choix dans L
2. Les ensembles L_α
2.1. Définissabilités externe et interne
2.2. Les ensembles L_α
2.3. L'hypothèse généralisée du continu
2.4. Élimination de AC et HC
3. Propriétés combinatoires de L
3.1. Le bon ordre canonique de L
3.2. Les principes combinatoires <> et []
3.3. L'axiome V = L est-il vrai ?
4. D'autres modèles intérieurs
4.1. Constructibilité relative
4.2. Les modèles HOD et leurs variantes
XII. La méthode du forcing
1. Extensions génériques
1.1. La méthode sémantique
1.2. Les noms et leur évaluation
1.3. Ensembles génériques et forcing
2. Pratique du forcing
2.1. Consistance relative de V \not= L
2.2. Consistance relative de \notHC
2.3. Consistance relative de \notAC
3. Des notions de forcing innombrables
3.1. Changement de cardinalité et de cofinalité
3.2. L'axiome de Martin
3.3. Valeur booléenne d'une formule
3.4. Indépendance vs. indécidabilité
XIII. Les grands cardinaux (I)
1. Les « petits » grands cardinaux
1.1. Les cardinaux inaccessibles
1.2. Les cardinaux faiblement compacts
1.3. Les cardinaux indescriptibles
2. Les cardinaux mesurables
2.1. Ultrafiltres complets
2.2. Ultraproduits et théorème de Los
2.3. Ultrapuissances de modèles de ZFC
3. Le réel 0#
3.1. Cardinaux mesurables et constructibles
3.2. Le réel 0#
3.3. Le monde sans 0#
3.4. Les grands cardinaux existent-ils ?
XIV. Les grands cardinaux (II)
1. Les « grands » grands cardinaux
1.1. Plongements élémentaires
1.2. Les cardinaux forts et les cardinaux de Woodin
1.3. Les cardinaux supercompacts
2. Rangs autosimilaires
2.1. La borne de Kunen
2.2. Les cardinaux de Laver
2.3. Itérations d'un plongement élémentaire
3. Périodes dans les tables de Laver
3.1. Les tables de Laver
3.2. Quotients finis de Iter(j)
3.3. Deux résultats sur les périodes
3.4. Un type nouveau d'application de la théorie des ensembles
3.A. Appendice: propriétés élémentaires des tables de Laver
XV. La détermination projective
1. La propriété de détermination
1.1. Jeux infinis
1.2. Pouvoir d'expression
1.3. La détermination comme moyen d'exploration
2. Détermination et grands cardinaux
2.1. La détermination Π₁¹
2.2. La détermination projective
2.3. La direction réciproque
3. Un nouveau cadre axiomatique
3.1. Deux approches complémentaires
3.2. Qu'est-ce qu'un axiome vrai ?
3.3. Le système ZFC+DP
XVI. Un bilan mitigé
1. Une accumulation de malentendus
1.1. Les espoirs déçus
1.2. Dogmes et errances bourbachiques
1.3. Un système fondationnel parmi d'autres
2. Une théorie de l'infini encore incomplète
2.1. Des réponses
2.2. Des questions qui résistent
2.3. Des interactions, mais souvent indirectes et limitées
3. Quelques pistes
3.1. Absoluité générique et axiomes de forcing
3.2. Les modèles canoniques
3.3. Une conclusion
Bibliographie
Notations
Index