Topologie algébrique et théorie des faisceaux

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Préface
CHAPITRE I ALGÈBRE HOMOLOGIQUE
1. Modules et foncteurs
1.1. Suites exactes de modules
1.2. Propriétés des groupes Hom(L,M)
1.3. Modules projectifs
1.4. Modules injectifs
1.5. Produits tensoriels
1.6. Limites inductives
1.7. Catégories et foncteurs
1.8. Catégories abéliennes
1.9. Préfaisceaux sur un espace topologique
2. Généralités sur les complexes
2.1. Modules différentiels
2.2. Complexes
2.3. Complexes augmentés; résolutions
2.4. Opérateurs d'homotopie
2.5. Le théorème des modèles acycliques
2.6. Complexes doubles
2.7. Produit tensoriel de deux complexes
2.8. Complexes d'homomorphismes
3. Complexes simpliciaux
3.1. Définitions
3.2. Chaînes d'un schéma simplicial
3.3. Cochaînes à valeurs dans un système de coefficients
3.4. Chaînes singulières d'un espace topologique
3.5. La différentielle d'un complexe simplicial
3.6. Produit cartésien de complexes simpliciaux
3.7. Homotopies simpliciales
3.8. Chaînes orientées et cochaînes alternées
3.9. Équivalence entre produits cartésiens et tensoriels
3.10. Extension aux complexes de cochaînes simpliciaux
3.11. Produit cartésien de deux classes d'homologie
3.12. Applications diagonales; cup-produit
4. Suites spectrales
4.1. Modules filtrés
4.2. La suite spectrale d'un module différentiel filtré
4.3. Approximation de E_∞, par les E_r
4.4. Suites spectrales dégénérées
4.5. Cas d'une filtration ou d'une graduation positive
4.6. Cas où la base ou la fibre est sphérique
4.7. Les termes E₀, E₁, E₂
4.8. Suites spectrales d'un double complexe
5. Les groupes Ext^n_A(L,M) et Tor^A_n(L, M)
5.1. Résolutions projectives et résolutions injectives
5.2. Dérivés d'un foncteur
5.3. Les foncteurs Ext^n(L,M) et Tor_n(L,M)
5.4. Complexes d'homomorphismes
5.5. Produit tensoriel de complexes
5.6. Exemple d'application : homologie et cohomologie des groupes
CHAPITRE II THÉORIE DES FAISCEAUX
1. Faisceaux d'ensembles
1.1. Axiomes des faisceaux
1.2. L'espace étalé attaché à un faisceau
1.3. Sections au-dessus d'un ensemble quelconque
1.4. Faisceaux simples
1.5. Faisceaux induits
1.6. Homomorphismes de faisceaux
1.7. Faisceaux de germes d'homomorphismes
1.8. Sous-faisceaux ; image d'un homomorphisme
1.9. Faisceaux quotients
1.10. Produit direct de faisceaux
1.11. Limites inductives de faisceaux
1.12. Image réciproque d'un faisceau par une application continue
1.13. Image directe d'un faisceau
2. Faisceaux de modules
2.1. Faisceaux d'anneaux
2.2. Modules sur un faisceau d'anneaux
2.3. La catégorie des A-Modules
2.4. Suites exactes de A-Modules
2.5. Faisceaux quotients
2.6. Produits directs de A-Modules
2.7. Sommes directes de A-Modules
2.8. Produits tensoriels
2.9. Suite exacte associée à un sous-espace localement fermé
2.10. Produit tensoriel total
2.11. Image réciproque d'un faisceau par une application continue
2.12. Image directe d'un faisceau
3. Problèmes de prolongement et de relèvement de sections
3.1. Faisceaux flasques
3.2. Espaces paracompacts
3.3. Prolongement local d'une section
3.4. Faisceaux mous dans les espaces paracompacts
3.5. Faisceaux Φ-mous
3.6. Partitions d'une section d'un faisceau mou
3.7. Faisceaux fins
3.8. Un lemme sur les recouvrements d'un espace normal
3.9. Application aux préfaisceaux
3.10. Sections d'une limite inductive
4. Cohomologie à valeurs dans un faisceau
4.1. Faisceaux différentiels
4.2. Résolutions d'un faisceau
4.3. La résolution canonique d'un faisceau
4.4. Cohomologie à valeurs dans un faisceau
4.5. Les suites spectrales associées à un faisceau différentiel
4.6. Théorèmes fondamentaux
4.7. Application aux résolutions
4.8. Caractérisation axiomatique des groupes de cohomologie
4.9. Cohomologie d'un sous-espace localement fermé
4.10. Suite exacte associée à un sous-espace fermé
4.11. Relations entre la cohomologie d'un sous-espace et celle de ses voisinages
4.12. Cohomologie à valeurs dans une limite inductive
4.13. Dimension cohomologique
4.14. Caractère local de la dimension dans les espaces paracompacts
4.15. Cas des espaces compacts ou de Zariski
4.16. Effet d'une application continue sur la cohomologie
4.17. La suite spectrale des espaces fibrés
5. Cohomologie de Cech
5.1. Cochaînes d'un recouvrement
5.2. Résolutions définies par des recouvrements
5.3. Suite spectrale attachée à un recouvrement et à un faisceau différentiel
5.4, Relations entre la cohomologie d'un recouvrement et celle de l'espace
5.5, Propriétés de comptabilité
5.6. Exemple d'application : cohomologie d'une réunion
5.7, Passage à un recouvrement plus fin
5.8. Cohomologie de Cech
5.9. La suite spectrale associée à la cohomologie de Cech
5.10. Le théorème d'isomorphisme
5.11. Suite exacte en cohomologie de Cech
5.12. Cohomologie de Cech et théorie de la dimension
6. Produit cartésien et cup-produit
6.1. Produit cartésien de deux classes de cohomologie
6.2. Calcul du produit cartésien à l'aide de résolutions
6.3. Produit cartésien en cohomologie de Cech
6.4. Résolutions simpliciales
6.5. Propriétés formelles du produit cartésien
6.6. Définition et propriétés du cup-produit
7. Foncteurs dérivés en théorie des faisceaux
7.1. Faisceaux injectifs
7.2. Dérivés d'un foncteur covariant exact à gauche
7.3. La suite spectrale des Ext
7.4. Utilisation d'une résolution localement libre
APPENDICE. RÉSOLUTIONS SIMPLICIALES STANDARD
INDEX DES NOTATIONS