線型代数からその先へ!
テンソル代数から表現論まで学べるまったく新しい教科書
●自然なストーリー展開による動機付け
●ジョルダン標準形のエレガントな解説あり
●具体例と演習問題が豊富で理解が深まる
線型代数学からその先に広がる世界へと誘う待望の教科書。ジョルダン標準形の理論、そしてテンソル代数から群の表現論までの道すじを、明確に動機付けながら案内する。豊富な具体例と演習問題により、理論的にも直感的にも理解が深められる。
【主要目次】
はじめに
第1章 広義固有空間
第2章 ジョルダン標準形
第3章 行列の指数関数とその応用
第4章 テンソル代数
第5章 群の表現論、主に有限群の場合
第6章 対称群の表現
第7章 シューア・ワイル双対性
第8章 対称群と一般線型群の既約指標
第9章 リー環の表現論入門
付録A 線型代数学ミニマム
付録B 代数学の基礎
Author(s): 池田 岳
Publisher: 東京大学出版会
Year: 2022
Language: Japanese
Pages: 305
はじめに
読み方のヒント
記号
目次
第1章 広義固有空間
1.1 対角化可能な行列
1.2 最小多項式
1.3 広義固有空間分解
1.4 ジョルダン分解
章末問題
解答(第1章)
第2章 ジョルダン標準形
2.1 商線型空間
2.2 巾零行列の標準形
2.3 一般の行列のジョルダン標準形
章末問題
解答(第2章)
第3章 行列の指数関数とその応用
3.1 行列の指数関数
3.2 定数係数の線型常微分方程式
章末問題
解答(第3章)
第4章 テンソル代数
4.1 双対空間
4.2 部分空間の双対性
4.3 テンソル積の導入
4.4 対称テンソル空間，交代テンソル空間
4.5 テンソル代数
4.6 グラスマン代数
章末問題
解答(第4章)
第5章 群の表現論，主に有限群の場合
5.1 群の表現
5.2 シューアの補題
5.3 マシュケの定理
5.4 指標の基礎理論
5.5 群環の利用
5.6 誘導表現
章末問題
解答(第5章)
第6章 対称群の表現
6.1 k次対称群Sₖの既約表現
6.2 次元公式とヤング・タブロー
6.3 既約表現の構成—ヤング対称子
6.4 誘導表現U_λ
章末問題
解答(第6章)
第7章 シューア・ワイル双対性
7.1 テンソル積空間の分解――ワイル表現
7.2 シューア・ワイル双対性
7.3 ワイル表現の既約性
解答(第7章)
第8章 対称群と一般線型群の既約指標
8.1 一般線型群の指標
8.2 フロベニウスの特性写像
8.3 対称関数環Λ
8.4 特性写像の基本性質
8.5 既約指標の決定
章末問題
解答(第8章)
第9章 リー環の表現論入門
9.1 リー環の定義
9.2 ??ₙ(ℂ)の表現
9.3 表現の完全可約性とウェイト空間分解
9.4 ??ₙ(ℂ)の最高ウェイト表現
章末問題
解答(第9章)
付録A. 線型代数学ミニマム
A.1 行列のブロック分け
A.2 基底と次元
A.3 線型写像の表現行列
A.4 線型空間の直和
付録B. 代数学の基礎
B.1 代数演算の基礎――モノイド，群
B.2 部分群による剰余
B.3 群の作用
B.4 有限可換群
B.5 加法群
B.6 環
B.7 体の標数，代数的閉包
B.8 環上の加群
B.9 K代数
B.10 次数付き環
B.11 環上のテンソル積
問・問題のヒントあるいは解答例
参考文献
記号索引
事項索引
