本書は、「積分公式」に焦点を当てることにより、ベクトル解析と微分幾何学を俯瞰する一冊である。
ベクトル解析において、グリーンの定理や(曲面に沿うベクトル場に対する)ストークスの定理、ガウスの発散定理を学ぶが、これらは微分幾何学において「多様体上の微分形式に対するストークスの定理」として包括的に論ずることができる。また、多様体論と位相幾何学を結びつけるド・ラームの定理は、多様体上のストークスの定理を用いて示され、さらに、曲面論におけるガウス・ボンネの定理もストークスの定理により導かれる。一方で、微分幾何学における偶数次元閉超曲面におけるガウス・ボンネの定理の証明には、モース理論を用いたまったく別の手法が用いられる。
本書ではこれらの事実をスムーズに学べ、さらに、体積汎関数の第1変分公式・第2変分公式とその完全証明も与えられており、「積分公式」を通して見えるベクトル解析と微分幾何学のつながりを案内する。
また、モース理論の完全証明や特性類の位相幾何学的定義(障害理論に基づいた定義)、および微分幾何学的定義(チャーン・ヴェイユ理論に基づいた定義)、さらには、ガウス・ボンネの定理が特性類の一つであるオイラー類の積分を用いた積分表示公式として与えられることも解説されており、微分幾何学と位相幾何学の密接なつながりも実感できる。
本書では各所で図を挿み、視覚的に理解できるよう工夫されている。
Author(s): 小池 直之
Publisher: 共立出版
Year: 2022
Language: Japanese
Pages: 385
まえがき
目次
第1章 ベクトル解析におけるストークスの定理・変分公式
1.1 ベクトル空間とアフィン空間
1.2 内積・外積・ユークリッド計量
1.3 ベクトル値関数の微分・偏微分
1.4 スカラー場・ベクトル場の線積分
1.5 勾配ベクトル場・回転• 発散
1.5 勾配ベクトル場・回転・発散
1.6 長さ汎関数とエネルギー汎関数の変分公式
1.7 ユークリッド空間内の曲線の曲率・フルネ枠
1.8 グリーンの定理
1.9 超曲面
1.10 スカラー場・ベクトル場の超曲面に沿う面積分
1.11 ベクトル解析におけるストークスの定理
1.12 ガウスの発散定理
第2章 超曲面論における変分公式とガウス・ボンネの定理
2.1 超曲面上の接ベクトル場
2.2 超曲面上のk次共変テンソル場・(1,k)次テンソル場
2.3 第2基本形式・形作用素
2.4 平行移動・測地線
2.5 向き付けられた超曲面上の曲線の曲率・フルネ枠
2.6 超曲面論における体積汎関数の第1変分公式・第2変分公式
2.7 曲面上の1次微分形式に対するストークスの定理
2.8 ガウス・ボンネの定理（局所版）
2.9 曲面論におけるガウス・ボンネの定理
第3章 微分幾何学におけるストークスの定理・ガウスの発散定理
3.1 多様体
3.2 Cʳ写像
3.3 接ベクトル
3.4 写像の微分
3.5 臨界点，およびその指数
3.6 はめ込み・沈め込みと陰関数定理
3.7 ベクトル場と局所1パラメーター変換群
3.8 テンソル場・微分形式
3.9 多様体の向き
3.10 ストークスの定理（微分幾何学版）
3.11 リーマン計量・リーマン接続
3.12 ガウスの発散定理（微分幾何学版）
第4章 微分幾何学における体積汎関数の変分公式
4.1 平行移動・測地線・指数写像
4.2 リーマン距離関数
4.3 曲率テンソル場
4.4 実ベクトルバンドルの接続と曲率テンソル場
4.5 測地変形とヤコビ場
4.6 リーマン部分多様体論
4.7 体積汎関数の第1変分公式・第2変分公式
第5章 微分幾何学におけるガウス・ボンネの定理
5.1 特異コホモロジー群，CWコホモロジー群，ド・ラームコホモロジー群
5.2 ド・ラームの定理
5.3 モース理論
5.4 リー群作用
5.5 ファイバーバンドル
5.6 偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウス・ボンネ型定理
第6章 特性類とガウス・ボンネの定理
6.1 リー群の無限小モデルとしてのリー代数
6.2 リー群とリー代数の随伴表現
6.3 主バンドルの接続と曲率形式
6.4 G構造とG接続
6.5 連続バンドルの分類定理と特性類
6.6 チャーン・ヴェイユ理論とガウス・ボンネの定理
参考文献
BCDFHIK
M
NOP
STY
索引
英数字
あか
さ
た
なは
まや
らわ
演習問題の解答
問1.2.1
問1.3.1
問1.4.2
問1.5.2
問1.7.2
問1.10.1
問2.3.1
問2.3.2
問2.3.5
問2.3.6
問2.4.1
問2.4.2
問2.6.1
問2.8.1
問2.9.2
問3.1.1
問3.1.3
問3.3.1
問3.3.3
問3.4.1
問3.5.1
問3.7.1
問3.7.2
問3.7.3
問3.7.4
問3.11.1
問3.11.3
問3.11.4
