Mathematisches Modellieren: als fachlicher Hintergrund für die Sekundarstufe I +II

Hinweis der Herausgeber
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 Hängende Kabel und Trassierungen – Steckbriefaufgaben und Entdimensionalisierungen
1.1 Einleitung: Stromkabel und Seilbahnen
1.1.1 Modell 1: stückweise linearer Verlauf
1.1.2 An das Problem angepasste Skalierung und Simulation
1.1.3 Modell 2: parabelförmiger Verlauf
1.1.4 Modell 3: Die Physiker sagen, es sei eine Kettenlinie.
1.1.5 Verallgemeinerung: Wie sieht es bei anderen Verhältnissen von Abstand und Durchhang aus?
1.1.6 Reflexionen zum mathematischen Modellieren I: der Modellbegriff und Gütekriterien für Modelle
1.2 Trassierungsaufgaben und der Begriff der Krümmung
1.2.1 Kurven und ihre Krümmung
1.2.2 Elementare Theorie ebener Kurven
1.2.3 Straßenplanung mit Geraden, Kreisbögen und Klothoiden
1.2.4 Reflexionen zum mathematischen Modellieren II: normative Modelle
1.3 Der Fahnenmast – vom Nutzen der Entdimensionalisierung und der Wahl geeigneter Skalen
1.3.1 Annahmen und Vereinfachungen
1.3.2 Das mathematische Modell
1.3.3 Entdimensionalisierung
1.3.4 Vom Nutzen der Entdimensionalisierung
2 Optimale Geschwindigkeiten und optimale Funktionen – Optimierungen und Variationen
2.1 Mit welcher Geschwindigkeit erhält man den optimalen Verkehrsfluss? Ein Optimierungsproblem
2.1.1 Das Modell „Halber Tacho“
2.1.2 Das Modell „Anhalteweg“
2.1.3 Bewertung
2.2 Woher kennen die Physiker die genaue Form des Kabels? – Diepg Kettenlinie als Minimierer
2.2.1 Das Energiefunktional
2.2.2 Ein Minimierer des Energiefunktionals und die Euler-Lagrange-Gleichungen
2.2.3 Die Euler-Lagrange-Gleichungen für das Kabel passen (noch) nicht
2.2.4 Die Kabellänge ist vorgegeben: Minimierung unter einer Nebenbedingung
2.2.5 Extrema unter Nebenbedingungen im zweidimensionalen Fall: Lagrange'sche Multiplikatoren
2.2.6 Minimierer der Energie unter der Nebenbedingungen vorgegebener Kabellänge
2.2.7 Beweis: Lagrange-Multiplikator für Extrema unter Nebenbedingungen
2.2.8 Einige Bemerkungen zu den Extremalprinzipien
2.2.9 Reflexionen zum mathematischen Modellieren III: Ad-hoc-Modelle, Modelle nach First Principles und die „unreasonable effectiveness of mathematics in the natural science“
3 Zinsen, Strahlung und Kaninchen – Modellieren mit linearen Differenzengleichungen
3.1 Guthaben und Zinsen
3.1.1 Guthaben
3.1.2 Festgeldkonto mit jährlicher Einlage
3.2 Der Radongehalt in der Luft eines unbelüfteten Kellerraums
3.2.1 Modellierung
3.2.2 Interpretation
3.3 Zusammenfassung, Systematisierung und graphische Analyse
3.3.1 Definition, eindeutige Lösbarkeit und Darstellungsformel
3.3.2 Das Cobwebbing
3.4 Summen der n-ten Potenzen und Kaninchen – daspg Lösungsschema für lineare Gleichungen
3.4.1 Das lineare Lösungsschema
3.4.2 Eine Anwendung: die Summe der ersten n-Kubikzahlen
3.4.3 Eine zweite Anwendung: die Fibonacci-Folge
4 Insekten zwischen Stabilität und Chaos – Modellieren mit nichtlinearen Differenzengleichungen
4.1 Die logistische Differenzengleichung – ein Prototyp für den Übergang von einem stabilen zu einem chaotischen Verhalten
4.1.1 Das lineare Modell
4.1.2 Das logistische Modell
4.1.3 Von stabilen Zuständen in das Chaos
4.2 Das Prinzip der Linearisierung
4.3 Zurück zur logistischen Differenzengleichung
4.3.1 Die Stabilität der stationären und 2-periodischen Punkte und das Bifurkationsdiagramm
4.3.2 Der Satz von Sarkovskii und die Feigenbaum-Konstante
4.4 Insektenpopulation mit nichtüberlappender Generationenfolge
4.4.1 Grundmodelle für Insektenpopulationen mit nichtüberlappender Generationenfolge
4.4.2 Das Hassell-Modell mit exakter Kompensation
4.4.3 Modelle mit Über- und Unterkompensation
4.4.4 Eine Bekämpfungsstrategie: sterile Insekten
5 Populationsmodelle und Befischung – Modellieren mit Differentialgleichungen
5.1 Modellieren mit Differentialgleichungen
5.1.1 Das Modell des exponentiellen Wachstums
5.1.2 Das logistische Modell
5.2 Qualitatives Lösen von autonomen Differentialgleichungen
5.3 Populationsmodelle mit Bejagung
5.3.1 Das Lösungsverhalten der logistischen Differentialgleichung
5.3.2 Fangstrategien: Fischfang mit konstanter Fangrate und mit konstantem Aufwand
5.3.3 Schwellen- und Sättigungseffekte
5.4 Der Tannenwickler und die Balsamtanne – erster Teil
5.4.1 Die Modellierung der Populationsdichte der Tannenwickler
5.4.2 Stationäre Punkte, Bifurkationen und die kritische Kurve
5.5 Eine einfache Lösungstheorie für Differentialgleichungen – die Methode von der Trennung der Variablen
5.5.1 Die Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen
5.5.2 Grobe Bestimmung der Zeitabhängigkeit und Vergleichssätze
5.6 Ein paar ausgewählte Lösungsverfahren
5.6.1 Die inhomogene lineare Differentialgleichung
5.6.2 Die Bernoulli'sche Differentialgleichung als Beispiel für ein Substitutionsverfahren
5.7 Ein einfaches Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen
5.8 Modellierungen in Abituraufgaben – Blutalkohol
5.8.1 Die Formulierung der Abituraufgabe
5.8.2 Die Modellierung der Alkoholkonzentration
5.8.3 Die Berechnung der Modellfunktion
5.8.4 Vergleich der beiden Modellfunktionen
5.8.5 Reflexionen zum mathematischen Modellieren IV: deskriptive und explikative Modellierungen
6 Räuber-Beute-Modelle – Modellieren mit Differentialgleichungssystemen
6.1 Das Räuber-Beute-System nach Lotka-Volterra
6.2 Lösungstheorie: der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
6.3 Das Lotka-Volterra-System fortgesetzt – die Methode der Lyapunov-Funktion
6.3.1 Elementare Diskussion des Phasenporträts
6.3.2 Eine numerische Annäherung mit dem expliziten Euler-Verfahren
6.3.3 Die Lyapunov-Funktion oder das erste Integral
6.3.4 Mittelwerte und Abschätzungen für die Periode
6.3.5 Anwendung auf die Interaktion von Luchs und Schneeschuhhase
6.4 Räuber-Beute-Systeme mit logistischem Wachstum – lineare Differentialgleichungssysteme und der Linearisierungssatz von Grobman-Hartman
6.4.1 Modellbildung und erste Diskussion des Modells
6.4.2 Lineare Differentialgleichungssysteme
6.4.3 Die Phasenporträts der linearen Differentialgleichungssysteme für n=2
6.4.4 Der Linearisierungssatz von Grobman und Hartman
6.4.5 Fortsetzung: Räuber-Beute-Systeme mit logistischem Wachstum
6.4.6 Diskussion des Ergebnisses
6.4.7 Könnte es im Räuber-Beute-Modell mit logistischem Wachstum auch unbeschränkte Lösungen geben?
6.4.8 Reflexionen über das mathematische Modellieren V: Die Art des Schließens in der mathematischen Untersuchung
6.5 Räuber-Beute-Systeme mit Sättigungs- und Schwelleneffekten – stabile Grenzzyklen und der Satz von Poincaré-Bendixson
6.5.1 Die Modellbildung
6.5.2 Diskussion des Räuber-Beute-Modells mit Sättigung
6.5.3 Stabile Grenzzyklen und der Satz von Poincaré-Bendixson
7 Würfe, Enzymreaktionen und der Tannenwickler – asymptotische Methoden
7.1 Der senkrechte Wurf im Galilei'schen und im Newton'schen Modell
7.1.1 Das Galilei'sche Modell des senkrechten Wurfs
7.1.2 Das Newton'sche Gravitationsmodell
7.1.3 Entdimensionalisierung und Wahl der geeigneten Skalen
7.1.4 Die Idee der asymptotischen Entwicklung
7.1.5 Beweis der Approximationseigenschaft
7.2 Reaktionskinetik, Enzyme und die Methode des Asymptotic Matching
7.2.1 Das grundlegende Modell für chemische Reaktionen: Reaktionskinetik
7.2.2 Enzymatische Reaktionen – zwei unterschiedliche Zeitskalen und das Verfahren des Asymptotic Matching
7.2.3 Entdimensionalisierung und asymptotische Betrachtungen
7.3 Der Tannenwickler und die Balsamtanne – zweiter Teil
7.3.1 Die Modellbildung
7.3.2 Numerische Simulationen
7.3.3 Analyse des Systems mit asymptotischen Methoden
7.3.4 Bewertung des Modells
7.3.5 Exkurs: der Übergang vom stationären Punkt zum oszillierenden Verhalten
8 Das Modell der Reizverarbeitung in Nervenzellen nach Hodgkin und Huxley – Experimente, Modelle und Spielzeugmodelle
8.1 Die Nervenzelle und das Aktionspotential
8.2 Erklärungsansätze vor Hodgkin und Huxley
8.3 Die Versuchsreihe von Hodgkin und Huxley
8.3.1 Beschreibung des Versuchsaufbaus
8.3.2 Die Trennung in kapazitive Ströme und Ionenströme
8.3.3 Die Trennung in Natrium- und Kaliumionenströme
8.3.4 Der „passive“ Ionentransport und die selektive Leitfähigkeit
8.3.5 Die Kaliumleitfähigkeit
8.3.6 Die Natriumleitfähigkeit
8.3.7 Die qualitative Erklärung des Aktionspotentials
8.4 Die mathematische Modellierung und die quantitative Berechnung der Aktionspotentials
8.4.1 Die Modellierung der Kaliumleitfähigkeit
8.4.2 Die Modellierung der Natriumleitfähigkeit
8.4.3 Simulationen mit Hilfe des mathematischen Modells
8.4.4 Die Erkenntnisse von H & H und das heutige Lehrbuchwissen
8.5 Toy-Models – das vereinfachte Modell nach FitzHugh-Nagumo
8.5.1 Ein Aktionspotential
8.5.2 Ein biochemischer Schalter
8.5.3 Eine Folge von Aktionspotentialen: das neuronale Feuern
8.6 Vom Spielzeugmodell zum großen Modell: neuronales Feuern im Modell von Hodgkin und Huxley
Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
Literatur
Stichwortverzeichnis