Author(s): Jean Roux
Publisher: ellipses
Couverture
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Avant-propos
1 Introduction
1.1 Généralités
1.2 Exemples de systèmes dynamique
1.3 Équation différentielle, processus d'évolution et déterminisme
l.4 Notions fondamentales pour l'étude des systèmes dynamiques
1.5 Phénomènes de bifurcation
1.6 Analyse qualitative
2 Éléments de caclcul différentiel
2.1 Introduction
2.2 Espace affine. Approche usuelle de la notion de vecteurs
2.3 Différentielle d'une fonction définie sur R^n
2.4 Formule des accroissements finis
2.5 Dérivées partielles d'ordre supérieur
2.6 Approximation de f au voisinage d'un point
2.7 Homéomorphisme, théorème de l'inverse, difféomorphisme
2.8 Théorème des fonctions implicites
3. Variétés topologiques et différentiables
3.1 Définitions et exemples
3.2 Difféomorphisme entre variétés
3.3 Codimension. Sous-espaces vectoriels transverses
3.4 Sous-variété d'un ouvert de R^n
3.5 Sous-variété de variété
3.6 Distance sur une variété
4 Champs de vecteurs sur R^n
4.1 Définition d'un champ de vecteurs sur Rn
4.2 Espace fibrés. fibrations, fibrés différentiables
4.3 Germe
4.4 Différentielle entre variétés
4.5 Espace tangent en un point d'une variété
4.6 Champ de vecteurs sur une variété
4.7 Structure de variété différentiable du fibré tangent TJI
4.8 Rang d'une application différentiable, immersion, submersion, plongement
5 Propriétés générales des trajectoires
5.1 Équation différentielles générales
5.2 Théorème local d'existence et d'unicité
5.3 Flot d'un champ de vecteurs
5.4 Exemple de flot non complet, durée de vie
5.5 Équivalence à des champs de vecteurs à flot complet
5.6 Existence et unicité des solutions des champs définis sur une variété
5.7 Les champs de vecteurs linéaires autonomes x = Ax
5.8 Isoclines
6 Analyse qualitative des tn1jectoires
6.1 Type topologique de trajectoire
6.2 Section locale
6.3 Théorème du voisinage tubulaire
6.5 Variétés invariantes locales pour les difféomorphismes et les champs de vecteurs
6.6 Propriétés des ensembles limites
6.7 Orbites récurrentes
6.8 Récurrence pour les champs de vecteurs d'un ouvert de la sphère
7 Stabilité des points singuliers
7.1 Stabilité d'un point singulier de champ de vecteurs
7.2 Différents types de stabilité
7.3 Stabilité des points fixes des systèmes linéaires planaires
7.4 Théorème de stabilité
7.5 Application : stabilité locale des points fixes des systèmes planaires non linéaires
7.6 Exemple : stabilité du système non linéaire
8 Orbites et champs périodiques
8.1 Orbites périodiques
8.2 Application de Poincaré
8.3 Utilité de l'applicaion de Poincaré
8.4 Section globale. suspension
8.5 Champ de vecteurs périodiques
9 Stabilité des orbites périodiques
9.1 Différents types de stabilité pour une orbite périodique
9.2 Différents types de stabilité pour un point fixe de difféomorphisme
9.3 Relation entre la stabilité d'une orbite périodique et celle de son application de Poincaré
9.4 Théorème de stabilité
9.5 Application aux orbites périodiques, nmltipliation de Floquet
10 Caractérisation des phénomènes non linéaires
10.1 Exemples de type α)
10.2 Introduction aux bifurcations élémentaires
10.3 Équations de type β)
10.4 Calculs explicites dynamiques de populations
11 Bifurcations de solutions stationnaires
11.1 Bifurcations élémentaires de base, champs de R
11.2 Champs de R²
12 Bifurcations de Hopf 1
12.1 Exemples
12.2 Caractérisation de la bifurcation de Hopf
12.3 Bifurcation de Hopf par les formes normales
12.4 Compléments bifurcations de Hopf
12.5 Bistabilité des solutions périodiques
12.6 Phénomème de l'explosion
13 Généricité
13.1 Introduction
13.2 Définitions et approche heuristique
13.3 Quelques résultats d'analyse fonctionnelle
13.4 La notion de généricité
13.5 Déploiement équivalence de deux familles sur R^k
13.6 Théorèmes de préparation
13.7 Conjugaison et équivalence de deux champs sur une variété
13.8 Déploiement équivalence, sur une variété
13.9 Déploiements versels pour les singularités
13.10 Déploiements de type selle-noeud sur R
13.11 k-jet d'une fonction
13.12 Déploiements des bifurcations de Hopf-Takens
14 Méthodes de continuation
14.1 Phénoménologie
14.2 Principes des méthodes de continuation
14.3 Prédicteurs
14.4 Paramétrisations
14.5 Correcteurs
14.6 Contrôle du pas
14.7 Cas des équations non autonomes
15 Théorie des méthodes de continuation
15.1 Solution régulière
15.2 Points limites simples (ou plis)
15.3 Continuation par la norme
15.4 Continuation par la pseudo-abscisse curviligne
15.5 L'algorithme du bord
15.6 Bifurcation et branchement
15.7 Les points limites et leur continuation
15.8 Continuation de solutions périodiques
15.9 Persistance des solutions périodiques
15.10 Continuation des points de bifurcation de Hopf
16 Bifurcations en biochimie
16.1 Un modèle d'enzime à deux compartiments
16.2 Modèle activateur-inhibiteur
17 Applications à l'écologie
17.1 Dynamiques d'une seule population
17.2 Deux populations en interaction
17.3 Modèles proie-prédateur
17.4 Modèle de compétition interspécifique
17.5 Modèle de mutualisme interspécifique
17.6 Modèle de Lotka-Leslie
Bibliographie
Index
