La tesis consta de dos temas desarrollados independientemente a partir de
la teoría clásica de álgebras de Hopf. El primero tema corresponde al capítulo 2, donde se presentamos la generalización algebraica no unitaria de las algebras de Hopf, y se obtiene una
dualidad que corresponde a un análogo algebraico de la dualidad de Pontrja-
gin de grupos localmente compactos, y el segundo tema corresponde al capítulo 4 donde estudiamos los entrelazamientos de un álgebra asociativa y el
anillos de polinomios de Laurent k[y
±1
], y de nimos estructuras de álgebras
de Hopf sobre algunos ejemplos de entrelazados de k[x] y k[y
±1
]. La tesis
esta organizada de la siguiente manera: En el capítulo 1, desarrollamos los
conceptos básicos y clásicos de la teoría de álgebras de Hopf, en la cual se
muestra la dualidad en el caso nito dimensional, y ejemplos relacionados a
la teoría de grupos. También tratamos una caracterización de las álgebras
de Hopf debida a A. van Daele, que sirve de motivación únicamente para el
capítulo siguiente. En el capítulo 2, desarrollamos la teoría de álgebras de
Hopf de de multiplicadores desarrollada por A. van Daele, y se extiende la
dualidad que existe para ellas a los grupos cuánticos algebraicos. El capítulo
3, es un resumen de resultados (sin pruebas) concernientes a los productos tensoriales torcidos o entrelazamientos de [15], [20], [18] y [19] que serán
utilizados en el capítulo 4. En este último capítulo presentamos los entrelazamientos con el álgebra k[y
±1
]. Los principales resultados nuevos de esta tesis
son 4.2.5 y 4.2.9 donde establecemos condiciones su cientes para obtener un
entrelazamiento de este tipo a partir de uno con el álgebra k[y]. Además caracterizamos los casos separables, de nidos en el mismo capítulo. Finalmente
de nimos dos familias de álgebras de Hopf, ambas no conmutativas, de las
cuales una es coconmutativa.
Author(s): Jack Arce
Series: Reporte de Investigación; Serie A ; 29
Publisher: Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP) - Departamento de Ciencias
Year: 2013
Language: Spanish
Pages: 101
City: Lima
Tags: Álgebras de Hopf; Dualidad; Productos Torcidos
Introducción 5
1. Álgebras de Hopf 9
1.1. Coálgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Biálgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Álgebras de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4. Propiedades de la antípoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5. Otra caracterización de las álgebras de Hopf . . . . . . . . . . 27
1.6. *-álgebras de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7. La dualidad de álgebras de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7.1. La dualidad de álgebras de Hopf de dimensión nita . 34
1.7.2. El dual restringido de un álgebra de Hopf . . . . . . . 37
1.7.3. Emparejamiento dual de álgebras de Hopf . . . . . . . 40
2. Álgebras de Hopf de multiplicadores 45
2.1. De nición de álgebras de Hopf de multiplicadores . . . . . . . 45
2.1.1. Álgebra de multiplicadores . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.2. Biálgebra de multiplicadores . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.3. Álgebra de Hopf de multiplicadores . . . . . . . . . . . 49
2.2. Integrales y sus propiedades modulares . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.1. El concepto de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.2. Existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.3. El elemento modular de una integral . . . . . . . . . . 56
2.2.4. El automor smo modular de una integral . . . . . . . 59
2.3. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1. La dualidad de álgebras de Hopf de multiplicadores
regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.2. La Dualidad de Grupos cuánticos algebraicos . . . . . 66
3. Entrelazamiento de álgebras 69
3.1. Generalidades y nociónes basicas . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2. El caso B = k[y] (extensiones polinomiales) . . . . . . . . . . 72
3.3. Extensiones polinomiales truncadas no conmutativas (el caso
B = k[y]/(y
n
) ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4. El caso A = k[x] y B = k[y] o B = k[y]/(y
n
) . . . . . . . . . 77
3.4.1. El caso n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4. Entrelazamientos y Álgebras de Hopf 81
4.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2. Entrelazamientos entre A y k[y
±1
] . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3. El caso A = k[x] y álgebras de Hopf . . . . . . . . . . . . . . 94
Bibliografía 99
