Cours de mathématiques du premier cycle, Deuxième année

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ALGÈBRE
CHAPITRE XXXII. COMPLÉMENTS SUR LES GROUPES
32.1. Sous-groupes distingués
32.2. Décomposition canonique d'un homomorphisme
32.3. Automorphismes d'un groupe
CHAPITRE XXXIII. RÉDUCTION DES MATRICES
33.1. Vecteurs propres ct valeurs propres
33.2. Polynôme caractéristique
33.3. Relations entre le polynôme caractéristique et les valeurs propres
33.4. Cas où le corps de base est le corps des nombres complexes
33.5. Théorème de Hamilton-Cayley. Applications
CHAPITRE XXXIV. FORMES MULTILINÉAIRES
34.1. L'espace vectoriel des formes p-linéaires
34.2. Image réciproque par une application linéaire
CHAPITRE XXXV. FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES
35.1. Formes bilinéaires symétriques
35.2. Formes quadratiques
35.3. Orthogonalité
35.4. Formes non dégénérées
35.5. Relations avec la notion d'orthogonalité du chapitre VIII
35.6. Bases orthogonales
35.7. Cas où le corps de base est le corps des nombres complexes
35.8. Cas où le corps de base est le corps des nombres réels
35.9. Adjointe
35.10. Groupe orthogonal
35.11. Matrices orthogonales
35.12. Applications linéaires symétriques
CHAPITRE XXXVI. FORMES HERMITIENNES
36.1. Formes hermitiennes
36.2. Orthogonalité
36.3. Bases orthogonales
36.4. Espaces préhilbertiens
36.5. Adjointe
36.6. Groupe unitaire
36.7. Applications linéaires hermitiennes
36.8. Retour aux applications linéaires symétriques
36.9. Étude simultanée de deux formes quadratiques
CHAPITRE XXXVII. FORMES MULTILINÉAIRES ALTERNÉES
37.1. Antisymétrisation
37.2. Produit extérieur de formes alternées
37.3. Formes bilinéaires alternées
37.4. Cas de l'espace ordinaire orienté
ANALYSE
CHAPITRE XXXVIII. GÉNÉRALISATION DE L'INTÉGRALE
38.1. Intégrales dans des intervalles non bornés
38.2. Intégrales de fonctions non bornées
38.3. La fonction Γ
CHAPITRE XXXIX. SÉRIES
39.1. Définitions et premières propriétés
39.2. Séries à termes positifs
39.3. Critère de Cauchy pour les séries
39.4. Séries absolument convergentes
39.5. Multiplication des séries
39.6. Séries alternées
39.7. Séries de fonctions
39.8. Propriétés des limites uniformes de suites
39.9. Propriétés des séries uniformément convergentes
CHAPITRE XL. SÉRIES ENTIÈRES
40.1. Rayon de convergence
40.2. Somme, produit de deux séries entières
40.3. Dérivation, intégration d'une série entière
40.4. Série de Maclaurin
40.5. Développement en série entière de fonctions usuelles
40.6. Étude du nombre e
CHAPITRE XLI. FONCTION EXPONENTIELLE COMPLEXE
41.1. Définitions et premières propriétés
41.2. Formule d'addition
41.3. Partie réelle, partie imaginaire, module, argument de e
41.4. Dérivée, primitives de e^{rx}
41.5. Applications à la trigonométrie
41.6. Logarithmes d'un nombre complexe
CHAPITRE XLII. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
42.1. Définition
42.2. Convergence d'une série trigonométrique
42.3. Continuité, dérivation, intégration d'une série trigonométrique
42.4. Série de Fourier
42.5. Exemple de recherche d'une série de Fourier
CHAPITRE XLIII. EXPONENTIELLE D'UNE MATRICE
43.1. Séries de vecteurs
43.2. Séries de matrices
43.3. Exponentielle d'une matrice
43.4. Calcul de l'exponentielle d'une matrice
CHAPITRE XLIV. SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE
44.1. Généralités
44.2. Systèmes différentiels linéaires
44.3. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants
CHAPITRE XLV. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'ORDRE SUPÉRIEUR
45.1. Généralités
45.2. Équations différentiel1es linéaires d'ordre p
45.3. Équations différentielles linéaires d'ordre p à coefficients constants
CHAPITRE XLVI. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS CONTINUES DE PLUSIEURS VARIABLES RÉELLES
46.1. Fonctions continues sur un ensemble compact
46.2. Appiication: démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss
46.3. Fonctions continues sur un ensemble connexe
CHAPITRE XLVII. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES
47.1. Définition des applications différentiables
47.2. Critères pratiques
47.3. Différentielle d'une application composée
47.4. Difféomorphismes
47.5. Immersions, submersions
47.6. Sous-variétés
47.7. Espace tangent à une sous-variété
47.8. Sous-variétés orientées
CHAPITRE XLVIII. FORMES DIFFÉRENTIELLES
48.1. Formes différentielles de degré 1
48.2. Formes difTérentiel1es de degré p
48.3. Dérivée extérieure d'une forme différentiel1e
48.4. Primitives d'une forme différentielle
48.5. Image réciproque d'une forme différentielle par une application
48.6. Formes différentielles dans un espace affine
48.7. Champs de vecteurs
CHAPITRE IL. INTÉGRALES MULTIPLES
49.1. Ensembles boréliens dans R^n
49.2. Fonctions boréliennes
49.3. Intégrale des fonctions boréliennes: élémentaires positives
49.4. Intégrale des fonctions boréliennes positives
49.5. Intégrale des fonctions boréliennes quelconques
49.6. Intégration dans un ensemble
49.7. Réduction des intégrales multiples aux intégrales simples
49.8. Exemples de calcul
49.9. Calcul des aires, des volumes
49.10. Changement de variables
49.11. Passage en coordonnées polaires
CHAPITRE L. INTÉGRALES DES FORMES DIFFÉRENTIELLES
50.1. Intégrale d'une forme différentielle relativement à une application
50.2. Généralisation
50.3. Intégrale d'une forme différentielle sur une sous-variété orientée
50.4. Travail et flux d'un champ de vecteurs
CHAPITRE LI. FORMULE DE STOKES
51.1. Bord
51.2. Bord orienté
51.3. Formule de Stokes
CHAPITRE LII. FONCTIONS HOLOMORPHES
52.1. Définition et premiers exemples
52.2. Fonctions holomorphes définies par des séries entières et des séries de Laurent
52.3. Autres définitions de l'holomorphie
52.4. Primitive d'une fonction holomorphe
52.5. Fonction réciproque d'une fonction holomorphe
52.6. Formule de Cauchy
52.7. Analyticité des fonctions holomorphes
52.8. Résidus
GÉOMÉTRIE
CHAPITRE LIII. LONGUEUR D'UNE COURBE
53.1. Définition de la longueur
53.2. Abscisse curviligne
53.3. Champs de formes quadratiques
53.4. Relations avec la notion de longueur
53.5. Abscisse curviligne sur une sous-variété orientée de dimension 1
CHAPITRE LIV. COURBURE
54.1. Vecteur rotation
54.2. Formules de Frenet
54.3. Recherche pratique du centre de courbure
CHAPITRE LV. COURBES ET SURFACES DU SECOND DEGRÉ
55.1. Ensembles algébriques
55.2. Ensembles algébriques définis par une équation du second degré
55.3. Ensembles algébriques dans le plan définis par une équation du second degré
55.4. Cônes du second degré
55.5 Ensembles algébriques dans l'espace défini par une équation du second degré
Exercices
Quelques suggestions et réponses
Index des notations
Index terminologique