Dieses Buch beinhaltet die Grundlagen der Algebra.
Neben den elementaren algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper wird insbesondere die Galoistheorie zusammen mit ihren Anwendungen auf die Kreisteilungskörper, die endlichen Körper oder die Frage nach der Auflösung von Polynomgleichungen entwickelt.
Besonderes Augenmerk wird dabei auf die natürliche Entwicklung der Inhalte gelegt. Zahlreiche Zwischenerklärungen unterstützen diese Grundidee, zeigen Verbindungen auf und helfen, die zu Grunde liegenden Konzepte besser zu durchdringen.
Das Buch eignet sich deshalb im Besonderen, die Algebra im Selbststudium oder begleitend zu Online-Vorlesungen zu erlernen.
Author(s): Marco Hien
Edition: 1
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2021
Language: German
Pages: 364
Tags: Algebraic structures; Groups; Rings; Euclidean Rings; Prime Elements; Galois Theory;
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 Motivation und Voraussetzungen
1.1 Ziele
1.1.1 Algebraische Strukturen
1.1.2 Polynomgleichungen in einer Variablen
1.2 Voraussetzungen
2 Körpererweiterungen und algebraische Elemente
2.1 Körpererweiterungen
2.2 Zwischenkörper und algebraische Elemente
3 Gruppen
3.1 Allgemeine Definition und Folgerungen
3.2 Untergruppen und Gruppenhomomorphismen
4 Gruppenquotienten und Normalteiler
4.1 Äquivalenzrelationen
4.2 Gruppenquotienten
4.3 Der Satz von Lagrange
4.4 Normalteiler und Faktorgruppen
4.5 Der Homomorphiesatz für Gruppen
4.6 Endliche zyklische Gruppen
5 Ringe und Ideale
5.1 Kommutative Ringe mit Eins
5.2 Ringhomomorphismen
5.3 Einheiten und Nullteiler
5.4 Ideale, Faktorringe und der Homomorphiesatz
5.5 Primideale und maximale Ideale
5.6 Der chinesische Restsatz
5.7 Beispiele von Ringen in quadratischen Zahlkörpern
6 Euklidische Ringe, Hauptidealringe, Noethersche Ringe
6.1 Euklidische Ringe
6.2 Der euklidische Algorithmus
6.3 Noethersche Ringe
7 Faktorielle Ringe
7.1 Primelemente und irreduzible Elemente, faktorielle Ringe
7.2 Eigenschaften
8 Quotientenkörper für Integritätsbereiche
9 Irreduzible Polynome in faktoriellen Ringen
9.1 Inhalt von Polynomen
9.2 Reduktion modulo Primelement
9.3 Das Gauß Lemma
9.4 Anwendung der Reduktion mod p
10 Galoistheorie (I) – Satz A und seine Variante A'
10.1 Die wundersame Körperschaffung
10.2 Der Zerfällungskörper
10.3 Der Satz A und A'
10.4 Anwendung im Körperturm
10.5 Die Galoisgruppe
11 Intermezzo – explizites Beispiel X5-777X+7
12 Normale Körpererweiterungen
12.1 Algebraischer Abschluss
12.2 Fortsetzung von Körperhomomorphismen
12.3 Normale Erweiterungen
13 Separabilität
13.1 Motivation und Definition
13.2 Formale Ableitung
13.3 Charakteristik eines Körpers und Separabilität
13.4 Der Separabilitätsgrad
13.5 Der Satz vom primitiven Element
14 Galoistheorie (II) – der Hauptsatz
14.1 Der Hauptsatz – Statement
14.2 Ausblick auf eine Anwendung – Mitternachtsformel für alle Grade?
14.3 Beweis des Hauptsatzes
14.4 Beweis des Zusatzes
15 Kreisteilungskörper
15.1 Einheitswurzeln
15.2 Kreisteilungskörper und -polynome
16 Endliche Körper
16.1 Primkörper, endliche Körper und der Frobenius
16.2 Endliche Körper
17 Mehr Gruppentheorie – Gruppenoperationen und Sylow
17.1 Gruppenoperationen
17.2 Die Sylowsätze
17.3 Anwendungen der Sylowsätze und übliche Tricks
17.4 Beweis der Sylowsätze
18 Auflösbarkeit von Polynomgleichungen
18.1 Auflösbare Gruppen
18.2 Auflösung von Polynomgleichungen durch Radikale
18.3 Die allgemeine Gleichung n -ten Grades
A Beweis der Existenz eines algebraischen Abschlusses
B Tricks und Methoden, um Gruppen einer vorgegebenen Ordnung zu klassifizieren
B.1 Standardargumente und Beispiele
B.1.1 Anzahl der p -Sylowgruppen:
B.1.2 Sylowgruppen als Normalteiler
B.1.3 Sylowgruppen der Ordnung p
B.1.4 Durchschnitt von Sylowgruppen
B.1.5 Kommutierende Sylowgruppen I
B.1.6 Kommutierende Sylowgruppen II
B.1.7 Nicht-kommutierende Sylowgruppen
B.2 Explizite Beispiele
B.2.1 Gruppen der Ordnung 2021
B.2.2 Gruppen der Ordnung 2023
B.2.3 Gruppen der Ordnung 2022
Stichwortverzeichnis
