В монографии излагаются как известные,так и недавно полученные результаты теории операторов преобразования,представляющей собой полностью
оформившийся самостоятельный раздел математики,находящийся на стыке
дифференциальных,интегральных и интегро-дифференциальных уравнений,
функционального анализа,теории функций,комплексного анализа,теории специальных функций и дробного интегродифференцирования,теории обратных
задач и задач рассеяния.
Для специалистов в области математики,преподавателей вузов,научных
сотрудников,аспирантов,студентов,а также для широкого круга читателей,
интересующихся проблемами современной математики.
Author(s): Ситник С.М., Шишкина Э.Л.
Publisher: Физматлит
Year: 2019
Language: Russian
Commentary: Тип обложки: ФИОЛЕТОВО-ЧЁРНЫЙ
Pages: 224
City: Москва
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Введение.Историческиесведения.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
ЧастьI.Общаятеорияоператоровпреобразования
Глава1. Предварительныесведенияиобозначения . . . . . . . . . . . 20
§ 1.1.Специальныефункции.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.1.Гамма-функция,бета-функция,пси-функция,символПохгам-
мераибиномиальныекоэффициенты.. . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.2. ФункцииБесселя.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.3. ГипергеометрическаяфункцияГаусса.. . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.4. ФункцииЛежандра.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.1.5. ФункцияМиттаг-Леффлера.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.1.6.Обобщённыефункциигипергеометрическоготипа.. . . . . . 27
§ 1.2.Функциональныепространства.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.1.Гёльдеровыфункции,абсолютнонепрерывныефункции,
класс ACn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.2. Класс Lp и егосвойства.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.3.Пространства Cm
ev, Lγp
и Sev. Весовыеобобщённыефункции33
§ 1.3.Основныеинтегральныепреобразования.. . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.1.ПреобразованиеФурье,синус-икосинус-преобразования,
преобразованиеХанкеля.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.2.ПространствоКиприянова.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.3.ПреобразованиеМеллина.ТеоремаСлейтер.. . . . . . . . . . . 38
§ 1.4.Операторыдробногоинтегро-дифференцирования.. . . . . . . . . . . 44
1.4.1.ДробныеинтегралыипроизводныеРимана–ЛиувилляиЛиу-
вилля.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.4.2.ДробныеинтегралыипроизводныеЭрдейи–Кобера.. . . . . . 46
1.4.3.Дробныйинтегралпопроизвольнойфункции.. . . . . . . . . . 47
Глава2. Классификацияисвойстваоператоровпреобразования 48
§ 2.1.Операторыпреобразования,связанныесоператорамиБесселя
и второйпроизводной.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.1.Основныеклассыдифференциальныхуравненийсоператора-
ми Бесселя.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.2. ОператорыпреобразованияСонинаиПуассона.. . . . . . . . 49
2.1.3. ОператорспускапопараметрудляоператораБесселя.. . . . 52
§ 2.2.Обобщённыйсдвигиегосвойства.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.1.Операторыобобщённогосдвига,выраженныечерезстепенные
ряды,изадачаКоши.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.2.Операторобобщённогосдвига,связанныйсоператоромБес-
селя.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.3. Обобщённаясвертка.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.4.Обобщённыесдвиги,связанныеспотенциалом.. . . . . . . . 66
§ 2.3.Классификацияисвойстваразличныхклассовоператоровпреобра-
зованияБушмана–Эрдейи.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.1.ОператорыпреобразованияБушмана–Эрдейиразличных
классов.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.2. ИнтегральныеоператорыпреобразованияБушмана–Эрдейи
первогородаинулевогопорядкагладкости.. . . . . . . . . . . 72
2.3.3.ФакторизацияоператоровБушмана–Эрдейи.. . . . . . . . . . . 80
2.3.4.УнитарностьоператоровБушмана–Эрдейи.. . . . . . . . . . . . 88
2.3.5. ИнтегральныеоператорыпреобразованияБушмана–Эрдейи
второгорода.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
§ 2.4.УнитарныеоператорыпреобразованияСонина–КатраховаиПуас-
сона–Катрахова.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
§ 2.5.Весовоесферическоесреднее.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.5.1. Интегралыпочастисферы.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.5.2.Многомерныйобобщённыйсдвиг,весовоесферическоесред-
нееиитерированноевесовоесферическоесреднее.. . . . . .104
2.5.3. Весовоесферическоесреднеекакоператорпреобразования107
§ 2.6.Другиетипыоператоровпреобразований.. . . . . . . . . . . . . . . . .110
ЧастьII.Применениеметодаоператоров
преобразованиякрешениюуравнений
в частныхпроизводных
Глава3. ПриложенияоператоровпреобразованияБушмана–Эр-
дейи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
§ 3.1.ПриложенияоператоровпреобразованияБушмана–Эрдейикзада-
чамдляуравненияЭйлера–Пуассона–ДарбуилеммеКопсона.. . .112
§ 3.2.Приложенияоператоровпреобразованиякустановлениюформул
связимеждурешениямидифференциальныхуравнений.. . . . . . .114
§ 3.3.ПриложенияоператоровпреобразованияСонина–Катрахова
и Пуассона–Катраховакрешениюоднойпарыинтегро-дифферен-
циальныхуравнений.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
§ 3.4.Приложенияоператоровпреобразованиякустановлениюэквива-
лентностинормпространствКиприяноваивесовыхпространств
Соболева.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
Глава4. ОбщееуравнениеЭйлера–Пуассона–Дарбу . . . . . . . . . .122
§ 4.1.АбстрактноеуравнениеЭйлера–Пуассона–Дарбу.. . . . . . . . . . .122
4.1.1. Рекуррентныеформулы.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
4.1.2. ОператорПуассонаиабстрактноеуравнениеЭПД.. . . . . .124
§ 4.2.Гиперболическиеуравнениясоднойпространственнойпеременной126
§ 4.3.Уравнениесоспектральнымпараметром.. . . . . . . . . . . . . . . . .131
§ 4.4.ПерваязадачаКошидляобщегоуравненияЭйлера–Пуассона–Дарбу137
4.4.1.Случай k > n+ |γ| − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
4.4.2.Случай k n + |γ| − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
4.4.3.Одномерныйслучай.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142
§ 4.5.ВтораязадачаКошидляобщегоуравненияЭйлера–Пуассона–Дарбу145
§4.6. B-ультрагиперболическоеуравнениеиобобщениетеоремыАс-
гейрссона.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
§ 4.7.Итерированноевесовоесферическоесреднееиегосвойства.. . . .153
§ 4.8.Применениетождествадляитерированногосферическогосреднего
к задачекомпьютернойтомографии.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
§ 4.9.Оприложенияхвесовыхсферическихсредних.. . . . . . . . . . . . .162
§ 4.10.ЯвноепостроениедробныхстепенейоператораБесселя.. . . . . . .163
ЧастьIII.МетодыпостроенияОП
дляоператораБесселяиродственныхоператоров
Глава5. КомпозиционныйметодпостроенияОП . . . . . . . . . . . .169
§5.1. B-гиперболическиеоператорыпреобразования.. . . . . . . . . . . . .170
§5.2. B-эллиптическиеоператорыпреобразования.. . . . . . . . . . . . . . .173
§5.3. B-параболическиеоператорыпреобразования.. . . . . . . . . . . . . .175
§ 5.4.ОператорысдвигапопараметрутипаЛаундеса.. . . . . . . . . . . . .176
Глава6. ПостроениеОПдлявозмущённогоуравненияБесселя
с переменнымпотенциалом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
§ 6.1.Постановказадачинахожденияинтегральногопредставленияреше-
ний длявозмущённогоуравненияБесселяспеременнымпотенци-
алом.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
§ 6.2.Решениеосновногоинтегральногоуравнениядляядраоператора
преобразования.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181
§ 6.3.Оценкидляслучаястепенногосингулярноговнулепотенциала..187
Списоклитературы.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192
