De l’intégration aux probabilités

Couverture
Page de titre
Avant-propos
Notations
1 Compléments d'analyse
1.1 Grand O, petit o : des amis fidèles
1.2 Convergence de séries et d'intégrales
1.3 La droite réelle achevée
1.4 Limite supérieure
1.5 Compléments sur la compacité
1.6 Exercices d'analyse
2 Un peu de théorie de la mesure
2.1 Tribus
2.2 Mesures
2.3 Convergence et mesurabilité
2.4 Exercices de théorie de la mesure
3 Espace probabilisé
3.1 Espace probabi1isé
3.2 Partitions et probabi1ités
3.3 Probabilité conditionnelle
3.4 Indépendance
3.5 Théorème λ-π de Dynkin (*)
3.6 Exercices sur le formalisme probabiliste
4 Intégrales
4.1 Définition de l'intégrale et propriétés de base
4.2 Intégration sur un ensemble
4.3 Quelques cas particuliers importants
4.4 Lien avec l'intégrale de Riemann
4.5 Intégrale d'Une fonction à valeurs complexes
4.6 Identifier des mesures par leurs intégrales
4.7 Applications aux intégrales à paramètre
4.8 Mesures à densité
4.9 Le théorème de transfert
4.10 Mesure produit
4.11 Théorèmes généraux et mesure de comptage
4.12 La mesure de Lebesgue sur R^d
4.13 Preuve des propriétés de base de l'intégrale
4.14 Exercices sur les intégrales (p.108 manquante)
5 Lois des variables et des vecteurs aléatoires
5.1 Notions générales
5.2 Indépendance des variables aléatoires
5.3 Variables aléatoires discrètes
5.4 Variables et vecteurs aléatoires à densité
5.5 Variables et lois discrètes classiques
5.6 Lois à densité usuelles
5.7 Loi 0-1 de Hewitt et Savage
5.8 Exercices sur les lois
6 Espérances et calculs
6.1 Rappels sur la construction de l'espérance
6.2 Propriétés élémentaires
6.3 Application aux inégalités classiques
6.4 Théorèmes de transfert
6.5 Convexité
6.6 Intégrale et queue de distribution
6.7 Moments d'ordre 2
6.8 Lois images par des transtormations affines
6.9 Loi image par un C1-difféomorphisme
6.10 Premiers moments des lois discrètes usuelles
6.11 Calcul des moments des lois à densité usuelles
6.12 Exercices détaillés
6.13 Exercices sur l'espérance
7 Espaces L_p et L_p
7.1 De L_p à L_p
7.2 Complétude de L_p
7.3 Théorèmes d'approximation
7.4 Exercices sur les espaces L_p
8 Convolution et transformation de Fourier
8.1 Produit de convolution
8.2 Transformée de Fourier
8.3 Exercices sur la transformation de Fourier
9 Fonction génératrice et fonction caractéristique, transformée de Laplace
9.1 Fonction génératrice d'une variable entière
9.2 Fonctions caractéristiques
9.3 Transformée de Laplace
9.4 Application aux marches aléatoires
9.5 Exercices sur les fonctions caractéristiques
10 Convergences, lois des grands nombres
10.1 Convergence presque sûre
10.2 Convergence en probabilité
10.3 Lemmes de Borel-Cantelli
10.4 Lois fortes des grands nombres
10.5 Exercices sur la convergence presque sûre
11 Convergence en loi
11.1 Convergence en loi
11.2 Convergence et fonctions caractéristiques
11.3 Théorème central limite en dimension 1
11.4 Preuve des théorèmes de Lévy
11.5 Exercices sur la convergence en loi
12 Vecteurs gaussiens
12.1 Image affine d'un vecteur gaussien
12 2 Exemple fondamental
12.3 Loi gaussienne
12.4 Loi gaussienne et indépendance
12.5 Loi gaussienne à densité
12.6 Fonction caractéristique, vecteurs gaussiens
12.7 Théorème central limite en dimension d
12.8 Convergence vers la loi du χ2
12.9 Exercices sur les vecteurs gaussiens
13 Statistique
13.1 Estimateurs
13.2 Intervalle de confiance
13.3 Modèles paramétriques (non-bayésiens)
13.4 Modè1es non-paramétriques
13.5 Exercices de statistiques
14 Sommes de variables aléatoires indépendantes
14.1 Théorèmes de Lindeberg et de Lyapounov
14.2 Sommes et séries de variables indépendantes
14.3 Grandes déviations
14.4 Exercices sur les sommes de variables indépendantes
A Rappels de dénombrement
B Compléments
C Indications des exercices
D Solutions des exercices corrigés
E Tables
Bibliographie
Index