Prefácio
0 Objetivo deste livro é apresentar os fundamentos teóricos das
Séries e da Integral de Fourier no caso unidimensional. Estas
teorias são pontos de partida de uma área muito ativa da Matemática
denominada Análise Harmonica
Hoje em dia encontramos uma vasta literatura no assunto,
inclusive em p0rtuguês, voltada principalmente para as aplicações das
Séries de Fourier e da Transformada de Fourier no contexto das
Equações Diferenciais Parciais (veja por exemplo [4] e [5]).
Todavia além das clássicas aplicações nas Equações Diferencias que
modelam problemas da Física-Matemática, a Análise Harmônica encontra
aplicações em Outros campos da Matemática e também em outras
áreas do conhecimento
Author(s): Adán J. Corcho Fernandez, Marcos Petrúcio de A. Cavalcante
Series: 27_CBM
Publisher: IMPA
Year: 2009
Language: Portuguese
Pages: 120
City: Maceió
Tags: Análise Harmônica, Séries de Fourier
Sumário
Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Funções Riemann integráveis . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Funções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Aproximação por funções contínuas . . . . . . . . . . 21
1.4 Identidades Aproximadas. . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Um pouco sobre Convoluções. . . . . . . . . . . . . . 27
1.6 As notações 0 grande e o pequeno. . . . . . . . . . . 29
1.7 Exercícios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Teoria Básica das Séries de Fourier. . . . . . . . . . 35
2.1 A Série de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1 Propriedades dos Coeficientes. . . . . . . . . . . 39
2.2 Convergência Pontual. . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.1 Núcleos de Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.2 Critério de Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Convergência no Sentido de Cesàro . . . . . . . . . . 47
2.3.1 Núcleos de Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2 O Teorema dC Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 A Transformada de Fourier Periódica. . . . . . . . . 51
2.5 Convergência Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5.1 Propriedades de Decaimento . . . . . . . . . . . . 53
2.5.2 Critérios de Convergência Uniforme . . . . . . . . 54
2.6 Convergência em Média Quadrática . . . . . . . . . . 56
2.6.1 Produto Interno no Toro Revisitado . . . . . . . . 56
2.6.2 Melhor Aproximaçã0. . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6.3 Identidade de Parseval . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.4 Retornando à Convergência Uniforme . . . . . . . . 61
2.7 Exercícios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 A Transformada de Fourier na Reta . . . . . . . . . . . 67
3.1 Da Série de Fourier à Transformada de Fourier . . . . 68
3.2 Convergência Dominada. . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Definição de Transformada de Fourier . . . . . . . . 71
3.4 Propriedades da TranSÍbrmada de Fourier. . . . . . . 75
3.5 Fórmula de inversão. . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.6 A Transformada le Fourier no Espaço de Schwartz. . . 81
3.7 Teorema Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.8 Fórmula de Soma de Poisson . . . . . . . . . . . . . 86
3.9 Exercícios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1 Somando Séries Numéricas. . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 A Série Thêta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3 O Teorema da Amostragem de Shannon . . . . . . . . . 93
4.4 A Equação de Laplace no Semiplano. . . . . . . . . . 95
4.5 A Desígualdade isoperimétrica. . . . . . . . . . . . 97
4.6 Função Contínua que não tem Derivada em
Nenhum Ponto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7 O Teorema de Weyl. . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.8 Exercícios. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 114
Índice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
