特殊函数

序
本書により初めて特殊函数を学習する読者に
目次
第1章　Γ函数およびB函数
§1 Γ 函数の定積分表示と無限乗積表示
§2 B 函数，Γ函数との関係
§3 複素数域で定義された Γ および B函数
§4 Γ函数に関する周辺積分表示式
§5 B函数に関する周辺積分表示式
§6 Γ函数の漸近展開
§7 多Γ函数，指数積分，誤差函数
第2章　直交多項式としての特殊函数
§8 有限区間 (a,b) での直交多項式
8・1 有限区間での直交多項式の一般理論
8･2 Jacobi, Gegenbauer, Legendre, Tschebyscheffの多項式，超球多項式
8・3 規格化積分
P_n'(x) の Legendre の多項式による展開
§9 無限区間での直交多項式
9・1 (a,∞) 区間での直交多項式，Sonine, Laguerre の多項式
9・2 規格化積分
9・3 (-∞,∞) 区間での直交多項式，Hermite の多項式，規格化積分
§10 直交多項式が満足する微分方程式
10・1 一般論
10・2 Jacobi の多項式が満足する微分方程式，Legendre の微分方程式，Tschebyscheff の微分方程式
10・3 Sonineの微分方程式，Laguerre の陪微分方程式，Hermite の微分方程式
§11 直交多項式に関する Goursat 形積分表示式，母函数
Jacobi の多項式に関する積分表示式
Legendre の多項式の母函数
Sonine-Laguerre の多項式の母函数
Hermite の多項式の母函数
第3章　複素変数の微分方程式の級数解
§12 正則点のまわりの級数解
§13 確定特異点のまわりの級数解
13・1 確定特異点とそのまわりの級数解一般理論，決定方程式，ρ_1-ρ_2≠整数の場合の基本解
13・2 ρ_1-ρ_2=正の整数の場合，Frobenius の方法
13・3 Gauss の超幾何微分方程式とその級数解
13・4 Kummer の合流形超幾何微分方程式とその級数解
13・5 Bessel の微分方程式の級数解
§14 無限遠点を確定特異点とする方程式
14・1 無限遠点のまわリの級数解一般理論
14・2 Legendre の方程式の無限遠点のまわりの解
第4章　P函数およびその合流形函数 \overbrace{P}
§15 Fuchs 形微分方程式，Riemann のP函数
§16 不確定特異点をもつ微分方程式，合流形P函数 \overbrace{P}
16・1 不確定特異点のまわりの形式解
16・2 漸近展開と不確定特異点のまわりの基本解，合流形P函数
§17 P函数およぴ合流形P函数に関する変換公式
§18 導函数がまたP函数となるP函数とその微分公式
§19 導函数がまた \overbrace{P} 函数となる \overbrace{P} 函数とその微分公式
第5章　漸化式の統一的理論
§20 超幾何函数および合流形超幾何函数に関する昇降演算子と漸化式
20・1 超幾何函数に関する昇降演算子
20・2 超幾何函数に関する漸化式
20・3 合流形超幾何函数に関する昇降演算子と漸化式
§21 因子分解法
21・1 梗概
21・2 一般論
21・3 特殊微分方程式への応用
1° Hermite の微分方程式
2° Kummer の合流形超幾何微分方程式
3° Gauss の超幾何微分方程式
4° Sonine-Laguerre の微分方程式
第6章　積分表示式
§22 積分表示式の一般論と超幾何函数への応用
22・1 一般理論と Euler 変換
22・2 超幾何函数の積分表示式
§23 Kummer の変換公式
§24 Gauss の微分方程式の3個の解の間の関係
24・1 未定係数法
24・2 周辺積分により直接導く方法
§25 合流形P函数の積分表示式を与える一般 Laplace 変換
§26 合流形超幾何函数に対する積分表示式と漸近展開式
26・1 積分表示式による最も変域の広い合流形超幾何函数の定義
26・2 積分表示式から漸近展開式を導くこと
26・3 積分表示式と漸化式
第7章　P形特殊函数の諸性質
§27 Jacobi および Tschebyscheff の多項式と Tschebyscheff の函数
§28 Legendre の多項式と Legendre 函数
28・1 超幾何函数との関係，第1種の Legendre 函数 P_ν(z), 第2種の Legendre 函数 Q_ν(z)
28・2 漸化式による Legendre の多項式の形成
28・3 整数次の第2種 Legendre 函数 Q_n(Z)
§29 Legendre 函数に対する周辺積分表示式
§30 Legendre 函数に関する漸化式
§31 Legendre の陪函数と超球函数
31・1 Legendre の陪函数と超球多項式
31・2 Legendre の陪函数に関する漸化式
31・3 超球函数と Legendre の陪函数に対する積分表示式
31・4 正規直交関係
§32 球調和函数
32・1 球調和函数と直交系
32・2 球面函数による展開，加法定理
第8章 \overbrace{P} 形特殊函数の諸性質
§33 Whittaker の合流形超幾何函数
33・1 合流形超幾何函数に関する変換公式
33・2 Whittaker の微分方程式と Kummer の微分方程式，Whittaker の函数と Kummer の函数との関係
33・3 Whittaker の函数の漸近展開式
33・4 Whittaker の函数に関する漸化式
§34 Laguerre の方程式，Laguerre の函数，Laguerre の多項式
§35 Weber-Hermite の函数
35・1 Weber-Hermite の函数とその漸化式
35・2 合流形超幾何函数との関係
§36 Bessel 函数，円筒函数の積分表示式と漸近展開式 1
36・1 Bessel 函数と漸化式
36・2 合流形超幾何函数との関係，Poisson 形積分表示式
36・3 Hankel の函数．Bessel, Neumann 函数との関係
36・4 円筒函数
§37 円筒函数の漸近展開式，半奇数次の円筒函数
37・1 円筒函数の漸近展開
37・2 半奇数次の円筒函数
37・3 球 Bessel 函数
§38 円筒函数の積分表示式 2
38・1 Sommerfeld の積分表示式
38・2 Sonine の積分表示式
38・3 Hankel 函数の分枝点 z=0
§39 円筒函数の漸近展開式 2, 鞍部点法
§40 Bessel 函数の直交性，Fourier-Bessel-Dini 展開と Fourier-Bessel 積分
§41 変形された Bessel 函数
付録　複素函数論の概説と偏微分方程式の変数分離
§ A1 複素数の函数，正則性と Cauchy-Riemann の偏微分方程式
§ A2 Cauchy の定理と Cauchy の積分公式，留数の定理
2・1 Cauchy の定理
2・2 Cauchy の積分公式，Goursat の定理
2・3 留数の定理
§ A3 複素函数の級数展開，解析接続
3・1 Taylor 展開
3・2 Laurent 展開
3・3 一致の定理，解析接続
§ A4 正則函数の等角写像性，鞍部点付近の等高線
§ A5 特殊偏微分方程式の変数分離と特殊函数
5・1 偏微分方程式としての基本方程式
5・2 直交曲線座標による変数分離
1゜筒座標
1-1 円筒座標
1-2 放物筒座標
1-3 楕円筒座標
2° 回転面座標
2-1 球座標
2-2 回転放物面座標
参考文献
I. 一般文献
II. 公式集，数表(一般的のもののみ)
III. 因子分解法，並びに漸近式の統一的取扱い方に関する文献(原著論文)
事項索引
A, B, C, D, E
F, G, H
J, K, L
N, P, R, S, T
W
Y, Z
函数記号索引
C, D, E, F, G, H, I
J, K, L, M, N, P
Q, S, T, U, W, Y, β, γ, φ
ψ, λ, τ