Das Buch nimmt die Leserschaft mit auf eine Entdeckungsreise in die Welt des Unendlichen. Es wird aufgezeigt, wie das Unendliche von der Antike bis in die Neuzeit immer wieder Quell der Inspiration war, um die Mathematik auf feste Grundlagen zu stellen. Von der Entdeckung der irrationalen Zahlen in der Antike führt das Buch über Dedekinds Konstruktion der reellen Zahlen sowie Cantors und Zermelos Mengenlehre bis zum Banach-Tarski-Paradoxon und Conways spielerischer Konstruktion der surreellen Zahlen.
Die Entdeckung, dass sich nicht jedes Verhältnis von zwei Streckenlängen als Verhältnis ganzer Zahlen ausdrücken lässt, hat gezeigt, dass sich nicht jede reelle Zahl durch einen endlichen Term ausdrücken lässt, sondern dass es dazu etwas Unendliches braucht. Solch eine Darstellung wurde aber erst zwei Jahrtausende später durch Dedekind gefunden. Kurze Zeit nach Dedekinds Konstruktion der reellen Zahlen hat Cantor eine Theorie entwickelt, die Mengenlehre, in der mit verschiedenen Unendlichkeiten gerechnet werden kann. Diese Theorie wurde später von Zermelo auf ein axiomatisches Fundament gestellt, auf dem die moderne Mathematik aufgebaut ist.
Die Reise wird immer wieder aufgelockert durch zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben, welche dabei helfen, den Text zu verstehen. Die Voraussetzungen sind so gewählt, dass das Buch bereits für Studierende mit geringen Vorkenntnissen zugänglich ist. Entstanden im Rahmen einer Vorlesung fürs Lehramt, richtet sich dieses Buch ganz besonders auch an Lehramtsstudierende.
Author(s): Lorenz Halbeisen; Regula Krapf
Edition: 1.
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2023
Language: German
Pages: 297
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1 Unendlichkeit in der Antike
1.1 Der Satz von Euklid
1.2 Achilles und die Schildkröte
1.3 Irrationalität
1.4 Der Euklid’sche Algorithmus
Kapitel 2 Konstruktion der reellen Zahlen
2.1 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen
2.2 Dedekind’sche Schnitte
2.3 Das Intervallschachtelungsprinzip
Kapitel 3 Irrationalität und Transzendenz
3.1 Irrationalität von ? und ?
3.2 Darstellung von Irrationalzahlen durch Kettenbrüche
3.3 Algebraische und transzendente Zahlen
3.4 Liouville’sche Zahlen
3.5 Transzendenz von ?
Kapitel 4 Unendliche Mengen
4.1 Das Hotel Hilbert
4.2 Abzählen endlicher Mengen
4.3 Das erste Diagonalargument
4.4 Der Calkin-Wilf-Baum
4.5 Das zweite Diagonalargument
4.6 Die Cantor-Menge
Kapitel 5 Gleichmächtigkeit
5.1 Vergleichen von Mächtigkeiten
5.2 Der Satz von Cantor-Bernstein
Kapitel 6 Kardinalitäten und Wohlordnungen
6.1 Der Satz von Cantor
6.2 Kardinalitäten
6.3 Kardinale Arithmetik
6.4 Wohlordnungen
6.5 Kardinalitäten wohlgeordneter Mengen
Kapitel 7 Das Auswahlaxiom
7.1 Das Auswahlaxiom und erste Anwendungen
7.2 Das Lemma von König
7.3 Anwendungen in der Unterhaltungsmathematik
Kapitel 8 Das Banach-Tarski-Paradoxon
8.1 Zerlegungsgleichheit
8.2 Das Hausdorff-Paradoxon
8.3 Das Banach-Tarski Paradoxon
Kapitel 9 Axiome der Mengenlehre
9.1 Axiome der Mengenlehre
Kapitel 10 Ordinalzahlen
10.1 Axiomatische Konstruktion der Ordinalzahlen
10.2 Transfinite Rekursion und Induktion
10.3 Der Wohlordnungssatz
10.4 Ordnungstypen von Wohlordnungen
10.5 Die Cantor-Normalform
10.6 Der Satz von Goodstein
Kapitel 11 Kardinalzahlen
11.1 Kardinalitäten als Ordinalzahlen
11.2 Kardinalzahlarithmetik
11.3 Der Satz von Kőnig
11.4 Die Kontinuumshypothese
11.5 Große Kardinalzahlen
Kapitel 12 Modelle der Mengenlehre
12.1 Ein kurzer Exkurs in die Modelltheorie
12.2 Die kumulative Hierarchie
12.3 Zur Existenz eines Modells von ZFC
12.4 Die erblich endlichen Mengen
12.5 Modelle der Mengenlehre mit Atomen
Kapitel 13 Permutationsmodelle
13.1 Konstruktion von Permutationsmodellen
13.2 Ein Modell der Mengenlehre ohne Auswahlaxiom
Kapitel 14 Der Satz von Ramsey
14.1 Der Satz von Ramsey
14.2 Folgerungen und Anwendungen des Satzes von Ramsey
14.3 Verallgemeinerungen des Satzes von Ramsey
Kapitel 15 Spiele und Gewinnstrategien
15.1 Endliche Spiele
15.2 Unendliche Spiele
15.3 Determiniertheit offener Mengen
15.4 Existenz nicht-determinierter Spiele
Kapitel 16 Determiniertheit unendlicher Spiele
16.1 Das Axiom der Determiniertheit
16.2 Die Perfekte-Teilmengen-Eigenschaft
16.3 Das Lebesgue’sche Maß
16.4 Zur Messbarkeit von Mengen reeller Zahlen
16.5 Die Baire-Eigenschaft
Kapitel 17 Die surreellen Zahlen
17.1 Kombinatorische Spiele
17.2 Eine Ordnung und eine Gruppenstruktur auf G
17.3 Hackenbush
17.4 Die surreellen Zahlen
17.5 Surreelle Zahlen mit Geburtstag ?
17.6 S ist ein geordneter Körper
17.7 Nochmals Hackenbush
17.8 Werte von Hackenbushspielen
Literaturverzeichnis
Stichwortverzeichnis
Personen
