Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas

Viršelis
TURINYS
Pratarmė
I.
MATEMATINĖS LOGIKOS IR AIBIŲ TEORIJOS PRADMENYS
1. Matematinės logikos elementai
1.1. Teiginių logika
1.2. Predikatų logika. Kvantoriai
1.3. Teoremų struktūra
1.4. Matematinės indukcijos metodas
2. Aibių teorijos elementai
2.1. Aibės ir veiksmai su jomis
2.2. Aibių atvaizdis, funkcijos sąvoka
2.3. Aibių rėžiai. Įdėtųjų atkarpų lema
2.4. Skaičiosios aibės
2.5. Kontinuumo galios aibės
2.6. Realiojo skaičiaus modulis
2.7. Aibės R poaibių klasifikavimas
Uždaviniai
Atsakymai
II.
KOMPLEKSINIAI SKAIČIAI
1. Algebrinė kompleksinių skaičių forma
1.1. Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas
1.2. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais
2.
Trigonometrinė kompleksinių skaičių forma
2.1. Kompleksinių skaičių geometrinė interpretacija
2.2. Polinė koordinačių sistema ir trigonometrinė kompleksinių skaičių forma
2.3. Kompleksinių skaičių, išreikštų trigonometrine forma, daugyba, dalyba ir kėlimas laipsniu
2.4. Šaknies iš kompleksinio skaičiaus, išreikšto trigonometrine forma, traukimas
3. Rodiklinė kompleksinių skaičių forma
Uždaviniai
Atsakymai
III.
RIBŲ TEORIJA
1. Funkcija. Funkcijų klasifikacija
1.1. Funkcijos sąvoka ir jos kitimo charakteristikos
1.2.
Atvirkštinės funkcijos sąvoka
1.3. Pagrindinės elementariosios funkcijos
1.5.
Sudėtinė funkcija
1.5. Elementariosios funkcijos, jų klasifikacija
1.6. Parametrinės kai kurių kreivių lygtys
2. Skaičių seka ir jos riba
2.1. Skaičių sekos sąvoka
2.2. Sekos ribos sąvoka
2.3.
Konverguojančių sekų savybės
2.4. Sekos ribos egzistavimo požymiai
2.5. Skaičius e
2.6. Hiperbolinės funkcijos
2.7. Bolcano ir Vejerštraso* principas
2.8. Koši* sekos ir Koši kriterijus
3. Funkcijos riba
3.1. Funkcijos ribos taške sąvoka
3.2. Vienpusės funkcijos ribos
3.3. Funkcijos riba, kai x-> begalybė
3.4. Neaprėžtai didėjančios funkcijos
3.5. Aprėžtosios ir neaprėžtosios funkcijos
3.6. Nykstamosios funkcijos
3.7. Nykstamųjų funkcijų savybės
3.8. Ribų dėsniai
3.9.
Neapibrėžtieji reiškiniai
3.10. Funkcijos ribos egzistavimo požymiai
3.11. Riba lim sinx/
x
3.12. Riba lim(1+1/x)^x, x priklauso R
3.13. Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos
3.14.
Ekvivalenčių nykstamųjų funkcijų naudojimas apskaičiuojant ribas
3.15. Funkcijos Koši kriterijus
4. Funkcijos tolydumas taške
4.1. Funkcijos tolydumo taške sąvoka
4.2. Funkcijos trūkio taškai
4.3. Aritmetinės operacijos su tolydžiosiomis funkcijomis
4.4. Tolydžiųjų funkcijų superpozicija
4.5. Monotoninės funkcijos tolydumo sąlyga
4.6. Elementariųjų funkcijų tolydumas
5. Tolydžiųjų atkarpoje funkcijų savybės
5.1. Pirmoji Boleano ir Koši teorema
5.2. Antroji Bolcano ir Koši teorema
5.3. Pirmoji Vejerštraso teorema
5.4. Antroji Vejerštraso teorema
5.5. Atvirkštinės funkcijos tolydumas
5.6. Tolygusis tolydumas
Uždaviniai
Atsakymai
IV.
VIENO KINTAMOJO FUNKCIJŲ DIFERENCIALINIS SKAIČIAVIMAS
1. Funkcijos išvestinė
1.1. Funkcijos išvestinės sąvoka
1.2. Funkcijos išvestinės mechaninė ir geometrinė prasmė
1.3. Funkcijos išvestinės ir jos tolydumo ryšys
1.4. Funkcijų diferencijavimo taisyklės
1.5. Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinės
1.6.
Išvestinių lentelė
1.7. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas
1.8. Logaritminis diferencijavimas
1.9. Funkcijų, apibrėžtų parametrinėmis lygtimis, diferencijavimas
2. Funkcijos diferencialas
2.1. Funkcijos diferencijuojamumas ir diferencialas
2.2. Diferencialo formos invariantiškumo savybė
3. Aukštesniųjų eilių išvestinės ir diferencialai
3.1. Aukštesniųjų eilių išvestinės
3.2. Neišreikštinių funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinės
3.3.
Funkcijų, apibrėžtų parametrinėmis lygtimis, aukštesniųjų eilių išvestinės
3.4. Niutono binomas
3.5. Leibnico formulė
3.6. Aukštesniųjų eilių diferencialai
4. Vidurinių reikšmių teoremos
4.1. Ferma* teorema
4.2. Rolio* teorema
4.3. Koši teorema
4.4. Lagranžo teorema
4.5. Lopitalio* teorema
4.6. Lopitalio taisyklė
5. Teiiloro* formulė
5.1. Daugianario Teiloro formulė
5.2. Funkcijos reiškimas Teiloro formule
5.3. Kai kurių elementariųjų funkcijų reiškimas Makloreno* formule
5.4. Funkcijų reikšmių apskaičiavimas
6. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos
6.1. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos sąvoka
6.2. Vektorinės funkcijos riba, tolydumas ir išvestinė
7. Kai kurios kreivių teorijos žinios
7.1. Plokščiosios kreivės kreivis
7.2. Kreivio apskritimas
7.3. Evoliutė ir evolventė
8. Funkcijų tyrimas
8.1. Funkcijos pastovumo sąlyga
8.2. Funkcijos monotoniškumas
8.3. Funkcijos ekstremumai, būtinos jų sąlygos
8.4. Pakankamos ekstremumų sąlygos
8.5. Funkcijos didžiausioji ir mažiausioji reikšmė atkarpoje
8.6. Kreivės iškilumas ir perlinkio taškai
8.7. Grafiko asimptotės
8.8. Bendroji funkcijos tyrimo ir jos grafiko braižymo schema
Uždaviniai
Atsakymai
V. NEAPIBREŽTINIS
INTEGRALAS
1. Pirmykštė funkcija
1.1. Pirmykštės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo sąvokos
1.2. Neapibrėžtinių integralų lentelė
2. Pagrindiniai integravimo metodai
2.1. Tiesioginio integravimo metodas
2.2. Integravimas keičiant kintamąjį
2.3. Integravimo dalimis metodas
3. Įvairių reiškinių integravimas
3.1. Funkcijų, kurių išraiškoje yra kvadratinis trinaris, integravimas
3.2.
Paprasčiausių racionaliųjų trupmenų integravimas
3.3. Taisyklingosios racionaliosios trupmenos reiškimas paprasčiausių trupmenų suma
3.4. Racionaliųjų trupmenų integravimas
3.5.
Dviejų tipų iracionaliųjų funkcijų integravimas
3.6. Integralai ... Oilerio
keitiniai
3.7.
Diferencialinių binomų integravimas
3.8. Trigonometrinių reiškinių integravimas
4. Integralai, neišreiškiami elementariosiomisfunkcijomis
Uždaviniai
Atsakymai
VI.
APIBRĖŽTIMS INTEGRALAS IR JO TAIKYMAS
1. Apibrėžtinio integralo sąvoka
1.1. Kreivinės trapecijos plotas ir apibrėžtinio integralo sąvoka
1.2. Darbu* sumos
1.3. Darbu sumų savybės
1.4. Rymano integralo egzistavimo sąlyga
1.5. Integruojamųjų funkcijų klasės
1.6. Apibrėžtinio integralo savybės
2. Niutono ir Leibnico formulė
2.1. Integralas su kintamu viršutiniu rėžiu
2.2. Niutono ir Leibnico formulė
3. Apibrėžtinių integralų apskaičiavimo metodai
3.1. Kintamųjų keitimo metodas
3.2. Integravimas dalimis
3.3. Integralai J sin"x 4.
Apibrėžtinio integralo apytikslis skaičiavimas
4.1. Stačiakampių formulė
4.2. Trapecijų formulė
4.3.
Parabolių (Simpsono*) formulė
4.4.
Pavyzdžių sprendimas
5. Geometrinis ir mechaninis
apibrėžtinio integralo taikymas
5.1. Figūros ploto apskaičiavimas stačiakampėje koordinačių sistemoje
5.2.
Figūros ploto apskaičiavimas polinių koordinačių sistemoje
5.3. Kreivės lanko ilgis
5.4.
Kūno tūrio apskaičiavimas pagal skerspjūvio plotą
5.5.
Apibrėžtinio integralo taikymo schema
5.6. Apibrėžtinio integralo taikymas mechanikoje
6. Netiesioginiai integralai
6.1. Netiesioginiai integralai su begaliniais integravimo rėžiais
6.2. Netiesioginių integralų su begaliniais rėžiais konvergavimo požymiai
6.3. Absoliutusis ir reliatyvusis netiesioginių integralų konvergavimas
6.4. Trūkiųjų funkcijų netiesioginių integralų apibrėžimas. Niutono ir Leibnico formulės taikymas
6.5.
Trukiųjų funkcijų netiesioginių integralų konvergavimo požymiai
6.6. Beta ir gama funkcijų konvergavimo sąlygos
6.7. Pagrindinė netiesioginio integralo reikšmė
Uždaviniai
Atsakymai
VII.
KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS
1. Aibės plokštumoje ir erdvėje
1.1. Euklido* erdvės
1.2. Taško aplinka erdvėje R^n
. Atvirosios ir uždarosios aibės
2. Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka ir geometrinis vaizdavimas
2.1. Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka
2.2. Sukimosi paviršiai
2.3. Elipsoidai
2.4. Hiperboloidai
2.5. Elipsiniai paraboloidai
2.6. Hiperbolinis paraboloidas
2.7. Kūgiai
2.8. Cilindriniai paviršiai
3. Kelių kintamųjų funkcijos riba ir tolydumas
3.1. Funkcijos riba taške
3.2. Kartotinės ribos
3.3. Kelių kintamųjų funkcijų tolydumas
4. Kelių kintamųjų funkcijų diferencijavimas
4.1. Dalinės išvestinės
4.2. Pilnasis funkcijos pokytis
4.3. Pilnasis diferencialas
4.4. Pilnojo diferencialo taikymas apytiksliame skaičiavime
4.5.
Sudėtinių funkcijų išvestinės
4.6. Pirmojo diferencialo formos invariantiškumas
4.7. Neišreikštinės funkcijos diferencijavimas
4.8.
Aukštesniųjų eilių išvestinės
4.9. Aukštesniųjų eilių diferencialai
4.10. Dviejų kintamųjų funkcijos TeiIoro formulė
5. Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumai
5.1. Būtinos ekstremumo sąlygos
5.2. Pakankamos ekstremumo sąlygos
5.3. Sąlyginiai ekstremumai
5.4. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmė uždaroje srityje
5.5. Mažiausių kvadratų metodas
6. Skaliarinis laukas
6.1. Skaliarinis laukas. Lygio paviršiai
6.2. Kryptinė išvestinė
6.3. Gradientas
7. Geometrinis diferencialinio skaičiavimo taikymas
7.1. Erdvinės kreivės liestinė ir normalioji plokštuma
7.2. Paviršiaus liečiamoji plokštuma ir normalė
Uždaviniai
Atsakymai
VIII. INTEGRALAI, PRIKLAUSANTYS NUO PARAMETRO
1. Tiesioginiai integralai, priklausantys nuo parametro
1.1. Integralų, priklausančių nuo parametro, sąvoka ir tolydumas
1.2. Integralų, priklausančių nuo parametro, diferencijavimas
1.3. Integralų, priklausančių nuo parametro, integravimas
2. Netiesioginiai integralai, priklausantys nuoparametro
2.1. Tolygusis
integralų konvergavimas
2.2. Netiesioginių integralų tolydumas, diferencijavimas ir integravimas
2.3. Netiesioginių integralų apskaičiavimas, diferencijuojant ir integruojant juos parametro atžvilgiu
3. Oilerio integralai
3.1. Beta funkcija ir jos savybės
3.2. Gama funkcija ir jos savybės
3.3. funkcijų sąryšis
3.4. Papildinio formulė
3.5. Apibrėžtinių integralų apskaičiavimas naudojant Oilerio integralus
Uždaviniai
Atsakymai
DALYKINĖ RODYKLĖ
LITERATŪRA