Dieses Buch entwickelt verständlich und gut nachvollziehbar diejenigen Themen der Mathematik, die für ein erfolgreiches Studium der Wirtschaftswissenschaften unverzichtbar sind. Hierbei wird die mathematische Darstellung stets durch ökonomische Anwendungen motiviert. Zahlreiche farbige Abbildungen und Übersichten visualisieren den Stoff; ausführliche Erläuterungen und Übungsaufgaben helfen, ihn zu verstehen und zu beherrschen.Im Zentrum des dritten Bandes stehen grundlegende Themenbereiche der mehrdimensionalen reellen Analysis und Optimierung. Grundeigenschaften und Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher, implizite Funktionen sowie Extremwertprobleme mit und ohne Nebenbedingungen werden ausgiebig behandelt. Zusammen mit den in den beiden vorangehenden Bänden entwickelten Grundlagen fließen diese Themen in die Behandlung ökonomisch besonders interessanter Fragestellungen aus der Mikro- bzw. Makroökonomik ein. Die abschließende Einführung in Differenzen- und Differenzialgleichungen erlaubt es zudem, dynamische Modelle der Makroökonomik beispielhaft zu behandeln.
Eine Besonderheit dieses Buches ist, dass nicht nur Methoden zur zahlenmäßigen Lösung von Problemen behandelt werden, sondern zugleich viel Wert auf das qualitative Verständnis der Probleme und ihrer Lösungen gelegt wird. Deswegen erhält die mathematische Argumentation, verbunden mit ökonomischen Überlegungen, ausreichend Raum.
Author(s): Hans M. Dietz
Series: Mathematik Für Wirtschaftswissenschaftler, 3
Edition: 3
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2022
Language: German
Commentary: Vector PDF
Pages: 499
City: Berlin, Germany
Tags: Mathematics for Economists; Multidimensional Analysis; Nonlinear Optimization
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
V Reelle Funktionen mehrerer Veränderlicher
27 Einführung
27.1 Ökonomische Motivation
27.2 Vorgehensweise
27.3 Bezeichnungen und Definitionsbereiche
27.3.1 Bezeichnungsweisen
27.3.2 Was sind ``Variablen''?
27.3.3 Bezeichnung von Variablen
27.3.4 Natürliche Definitionsbereiche
27.3.5 Definitionsbereiche vektorwertiger Funktionen
27.3.6 ``Ökonomische'' Definitionsbereiche
27.4 Das Baukastenprinzip
27.4.1 Die Bausteine
27.4.2 Die ``Bau-Operationen''
27.4.3 Direkte Summen und Separation
27.5 Grundbeispiele ökonomischer Funktionen
27.6 Aufgaben
28 Wissenswertes über Rn
28.1 Übersicht
28.2 Die Elemente des Rn
28.3 Die natürliche Ordnung des Rn
28.4 Intervalle
28.5 Rn als metrischer Raum
28.5.1 Metrik und Norm
28.5.2 Umgebungen
28.5.3 Innere, äußere und Randpunkte einer Menge
28.6 Beschränkte Mengen
28.7 Zulässige Richtungen und relativ innere Punkte*
28.8 Konvergenzbegriffe
28.8.1 Konvergenz von Folgen
28.8.2 Cauchy-Folgen
28.8.3 Konvergenz von Teilfolgen
28.8.4 Kompakte Mengen
28.9 Aufgaben
29 Vertikalschnitte
29.1 Einführung
29.2 Veranschaulichung im Fall n=2
29.3 Achsenparallele Vertikalschnitte
29.4 Beliebige eindimensionale Vertikalschnitte
29.4.1 Definition und Beispiele
29.4.2 Spezialfall: Achsenparallelität*
29.4.3 Spezialfall: Radialschnitte
29.4.4 Vereinfachte Parametrisierung
29.4.5 Ökonomische Interpretation von Radialschnitten:
29.5 Aufgaben
30 Niveaumengen und Höhenlinien
30.1 Einführung
30.2 Veranschaulichung im Fall zweier Veränderlicher
30.3 Definition und erste Beispiele
30.4 Ökonomische Interpretation und Bedeutung
30.5 Weitere Berechnungsbeispiele
30.6 Konturmengen
30.7 Höherdimensionale Niveau- und Konturmengen
30.8 Aufgaben
31 Beschränkte Funktionen
31.1 Zum Begriff
31.2 Erhaltungseigenschaften
31.3 Separation
31.4 Mehr zum Thema Beschränktheit
31.5 Beschränktheit vektorwertiger Funktionen*
31.6 Räume beschränkter Funktionen*
31.7 Aufgaben
32 Stetige Funktionen
32.1 Stetigkeitsdefinition
32.2 Stetigkeitsnachweis
32.3 Nützliche Konsequenzen
32.4 Ein ``metrischer'' Blick auf die Stetigkeit*
32.5 Stetigkeit vektorwertiger Funktionen*
32.6 Aufgaben
33 Ableitungsbegriffe
33.1 Übersicht
33.2 Partielle Ableitungen
33.2.1 Definition
33.2.2 Zur Technik des partiellen Differenzierens
33.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung
33.4 Richtungsableitungen
33.4.1 Definition
33.4.2 Geometrische Deutung
33.4.3 Einseitige Richtungsableitungen*
33.5 Totale Differenzierbarkeit und totales Differential
33.5.1 Totale Differenzierbarkeit
33.5.2 Totale Differenzierbarkeit und Stetigkeit
33.5.3 Totale vs. partielle Differenzierbarkeit
33.5.4 Das totale Differential
33.6 Differenzierbare Funktionen und Ableitungsregeln
33.6.1 Differenzierbare Funktionen
33.6.2 Der Katalog differenzierbarer Grundfunktionen
33.6.3 Erhaltungseigenschaften und Ableitungsregeln
33.6.4 C1-Funktionen
33.6.5 Richtungsableitungen differenzierbarer Funktionen
33.6.6 Spezielle Anstiegsrichtungen
33.6.7 Zwischenbilanz zum Thema ``Gradient''
33.7 Randprobleme*
33.8 Implizite Funktionen und implizite Differentiation
33.8.1 Das Problem der Implizitheit
33.8.2 Herleitung von Auflösbarkeitsbedingungen
33.8.3 Der Satz über implizite Funktionen
33.9 Partielle Elastizitäten
33.9.1 Motivation
33.9.2 Definition
33.9.3 Praktische Bestimmung
33.9.4 Beispiele und Interpretation
33.9.5 Rechenregeln für Elastizitäten
33.9.6 Sprechweisen
33.10 Differentialrechnung vektorwertiger Funktionen
33.10.1 Partielle Differenzierbarkeit und Funktionalmatrix
33.10.2 Die Kettenregel
33.10.3 Implizite Funktionen
33.11 Höhere Ableitungen, Taylorsche Formel
33.11.1 Höhere Ableitungen skalarer Funktionen
33.11.2 Ableitungen als abbildungswertige Funktionen
33.11.3 Taylorsche Formel
33.12 Aufgaben
34 Monotone Funktionen
34.1 Motivation
34.2 Definition und Beispiele
34.3 Monotonieprüfung
34.4 Monotonieabschluss
34.5 Erhaltungssätze
34.6 Monotonie und Ableitung
34.7 Monotonie ökonomischer Funktionen
34.8 Einige Konsequenzen der Monotonie
34.9 Aufgaben
35 Konvexe Funktionen
35.1 Motivation und Übersicht
35.2 Definition
35.3 Alternative Charakterisierungen der Konvexität
35.3.1 Vertikalschnitte
35.3.2 Stützebenen und Epigraphen
35.4 Nützliche Eigenschaften konvexer Funktionen
35.4.1 Stetigkeit
35.4.2 Konturmengen
35.5 Konvexität und Ableitungen
35.5.1 Motivation
35.5.2 Globale Konvexitätsaussagen
35.5.3 Lokale Konvexitätsaussagen
35.6 Konvexitätsabschluss
35.7 Konvexitätserhaltung
35.7.1 Vorbemerkung
35.7.2 Summen, Vielfache, Maxima und Grenzwerte
35.7.3 Komposition
35.7.4 Zusammenfassung
35.8 Quasi-Konvexität
35.8.1 Definition und Beispiele
35.8.2 Alternative Charakterisierung
35.8.3 Mehr über Konvexität vs Quasikonvexität
35.8.4 Erhaltungseigenschaften
35.8.5 Weiterführende Fragen
35.9 Aufgaben
36 Homogene Funktionen
36.1 Vorbemerkung
36.2 Definition homogener Funktionen
36.3 Beispiele
36.4 Ökonomische Interpretation der Homogenität
36.5 Homogenität ökonomischer Funktionen
36.6 Erhaltungsaussagen
36.7 Radialschnitte homogener Funktionen
36.8 Geometrie der Höhenlinien
36.9 Homogenität und Elastizitäten
36.10 Aufgaben
37 Extremwerte
37.1 Begriffe
37.1.1 Motivation
37.1.2 Voraussetzungen aus Band 1
37.1.3 Eine alternative Beschreibung globaler Extremalität
37.2 Existenz globaler Extrema
37.3 Extremwertabschluss
37.4 Methodologie der Extremwertbestimmung
37.5 Stationäre Punkte und lokale Extrema
37.5.1 Notwendige Bedingungen
37.5.2 Bestimmung stationärer Punkte
37.5.3 Hinreichende Bedingungen für lokale Extremalität
37.6 Globale Extremwertanalyse
37.6.1 Übersicht
37.6.2 Kandidatenvergleich
37.7 Extrema konvexer Funktionen
37.7.1 Minima konvexer Funktionen
37.7.2 Maxima konvexer Funktionen
37.7.3 Stationäre Punkte konvexer Funktionen
37.8 Aufgaben
38 Extremwerte unter Nebenbedingungen
38.1 Motivation
38.2 Definitionen
38.3 Substitutionsmethode
38.4 Grafische Lösung im R2
38.4.1 Die Idee
38.4.2 Einige Beobachtungen
38.5 Die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren
38.6 Lokale Bewertung von Lagrange-Punkten
38.7 Globale Aussagen unter Konvexitätsannahmen
38.7.1 Eine generelle Aussage
38.8 Zur Rolle des Lagrangeschen Multiplikators
38.9 Vereinfachungen
38.9.1 Monotone Transformation der Zielfunktion
38.9.2 Transformationen der Nebenbedingung
38.10 Mehrere Gleichungsnebenbedingungen
38.11 Mehrere Ungleichungsnebenbedingungen
38.11.1 Zwei Beispiele
38.11.2 Allgemeine Problemformulierung
38.11.3 Zulässiger Bereich
38.11.4 Die Bedingungen von Kuhn und Tucker
38.11.5 Beispiele
38.11.6 Ergänzende Anmerkungen
38.12 Aufgaben
VI Dynamik
39 Differenzengleichungen
39.1 Motivation
39.2 Begriffe
39.3 Lineare Differenzengleichungen
39.4 Lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten
39.4.1 Gleichungen erster Ordnung
39.4.2 Gleichungen zweiter Ordnung
39.4.3 Gleichungen beliebiger Ordnung
39.5 Einfache ökonomische Anwendungen
39.5.1 Verzinsung von Zahlungsströmen
39.5.2 Cobweb Theorem
39.6 Ausblick auf weitere Fragestellungen
39.7 Überleitung zu Differentialgleichungen
39.8 Aufgaben
40 Gewöhnliche Differentialgleichungen
40.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen
40.2 Einführung
40.3 Begriffe
40.4 Lineare DGL
40.5 DGL mit trennbaren Variablen
40.6 Elementare Anwendungen in der Ökonomie
40.6.1 Preisdynamik eines einzelnen Gutes
40.6.2 Das Solow-Modell
40.7 Aufgaben
Anhang I: Beweise
Anhang II: Lösungen von Übungsaufgaben
Literaturverzeichnis
Symbolverzeichnis
Stichwortverzeichnis
