Цифрова обробка аудіо- та відеоінформації у мультимедійних системах

Цифрова обробка аудіо- та відеоінформації у мультимедійних системах: Навчальний посібник / О.В. Дробик, В.В. Кідалов, В.В. Коваль, Б.Я. Костік, В.С. Лазебний, Г.М. Розорінов, Г.О. Сукач. – К.: Наукова думка, 2008. – 144 с.: іл.
ЗМІСТ
1. ОСНОВИ ЦИФРОВОЇ ОБРОБКИ СИГНАЛІВ.........................................5
1.28. Перетворення Хартлі……......................................................................70
1.32. Перетворення Хаара...............................................................................85
1. ОСНОВИ ЦИФРОВОЇ ОБРОБКИ СИГНАЛІВ
1. ОСНОВИ ЦИФРОВОЇ ОБРОБКИ СИГНАЛІВ
Перетворення Фур'є дискретної послідовності
1.17 Дискретне перетворення Фур’є
Приклад обчислення ДПФ. Раніше було підраховано ДПФ від одиничної послідовності. У реальних умовах вважається, що в негативні моменти часу сигнал відсутній. У цьому зв'язку цікаво знайти ДПФ від дискретного аналога функції .
1.18 Лінійні інваріантні системи
1.19 Цифрові фільтри
Рекурентні системи. Попередні приклади ЛІС давали явні вираження вихідних сигналів через вхідні. Припустимо тепер, що вхідна послідовність має властивість:
.
Нехай
Фільтри. Нехай є ЛІС із функцією відгуку , на вхід якої подається , а на виході виходить послідовність . Переходячи в (1.15) до перетворень Фур'є, одержимо
Фільтри з кінцевою імпульсною характеристикою (КІХ). Припустимо, що в послідовності лише кінцеве число елементів відмінні від нуля. У цьому випадку фільтр називається фільтром з кінцевою імпульсною характеристикою. У цьому випадку
Фільтри з нескінченною імпульсною характеристикою (НІХ). Фільтром з нескінченною імпульсною характеристикою називається фільтр, обумовлений рекурентним співвідношенням (1.17). Як було відзначено вище, це ЛІС, тому вона може бути задана за допомогою функції відгуку . Остання буде мати нескінченне число ненульових елементів, та не може бути довільною збіжною послідовністю. Передатну функцію знаходимо, переходячи в (1.17) до перетворень Фур'є
1.20 - перетворення
Ідеальний фільтр. Під ідеальним фільтром розуміється фільтр, у якого передатна функція має прямокутну форму (рис.11).
Фільтр першого порядку. Розглянемо фільтр виду
Фільтр другого порядку. Описується різницевим рівнянням
.
Розглянемо тільки дійсний випадок. Переходячи до - перетворення, одержимо:
Фільтри вищих порядків. Припустимо, що передатна функція фільтра має вигляд
Фільтр Баттерворта. Це один з базисних фільтрів. Фільтр низьких частот має передатну функцію
Фільтр Баттерворта високих частот має передатну функцію виду
Смуговий фільтр. Розглянемо вираження
Тангенціальний фільтр. Для випадку фільтра низьких частот на кінці інтервалу пропущення не досягався 0. Розглянемо функцію
1.21 КІХ фільтри
Смуговий фільтр на основі ФНЧ. Вище було показано, яким чином можна побудувати різні фільтри. Виявляється, кожний з таких фільтрів можна одержати на основі ФНЧ за допомогою універсальної процедури (рис.14).
Фільтр як осцилятор. Вище відзначалося, що для зсуву спектра послідовності потрібне джерело, що генерує послідовності виду . Звичайний спосіб генерування таких послідовностей не підходить, оскільки виникає проблема підрахунку функції від великого аргументу. Існує альтернативний спосіб генерації, заснований на теорії фільтрів.
Фазовий зсув сигналу в результаті фільтрації. При проектуванні фільтра враховувався лише модуль передатної функції. У загальному випадку . Тут аргумент передатної функції. Якщо спектр вхідного сигналу зосереджений у точці , то в результаті фільтрації, крім зміни інтенсивності, відбувається зсув фільтрованого сигналу на величину стосовно вхідного. При порівнянні вхідного сигналу із зосередженим спектром і результуючого сигналу спостерігається зсув одного сигналу щодо іншого. У загальному випадку спостерігається фазове перекручування сигналу, однак, воно не вловлюється вухом. У той же час, коли важлива фаза сигналу, доводиться використовувати методи компенсації або фільтр із дійсною передатною функцією. Для компенсації фазового перекручування можна використати, наприклад, фільтри виду
.
Для одержання КІХ фільтра з апроксимуючою передатною функцією можна залишити лише кінцеве число доданків у цій сумі. Якщо вибирати максимальні за модулем коефіцієнти, то результуюча передатна функція буде найкращою апроксимацією в сенсі найменших квадратів при заданому числі доданків. Виявляється, що такий підхід не завжди прийнятний. З'ясуємо, що відбувається при обрізанні ряду. Уведемо функцію рівну 1 при та рівну 0 в інших точках. Тоді
.
Безпосередньо знаходимо, що
.
Графік цієї функції нагадує функцію, але містить і бічні пелюстки. У результаті згортки з оригіналом при обчисленні беруть участь як значення , так і значення цієї функції в околиці пелюстків функції .
1.22 Квадратурний дзеркальний фільтр
1.23 Вейвлет-перетворення
Безперервне перетворення. Нехай є функція й деяка функція - материнська функція. Розглянемо інтеграл виду
Масштабування. Розглянемо множину функцій на дійсній осі. Нехай , причому функції утворять ортонормовану систему. Це означає, що
Вейвлет фільтрація. Уведемо позначення: для будь-якої функції . Покладемо .
Мультироздільна здатність. Нехай справедливо додаткове припущення: . Із включення випливає подання , де - ортогональне доповнення простору до простору . При зроблених припущеннях простір , і будь-яка функція , де . Останнє розкладання інтерпретується як подання функції з наростаючим ступенем деталізації, що і одержало назву multiresolution – мультироздільна здатність, тобто змінна роздільна здатність.
1.24 Швидкі алгоритми дискретного перетворення Фур’є
Зв'язок ряду Фур'є й дискретного перетворення Фур'є. Нехай періодична на інтервалі функція задана формулою
Перетворення дійсних послідовностей.
Алгоритми ДПФ. Звичайні формули для обчислення ДПФ вимагають великої кількості множень: , де - число точок у ДПФ. Існують прийоми, що дозволяють зменшити цю кількість. Вони називаються швидкими ДПФ (ШПФ). Найпростіший алгоритм ставиться до випадку .
Випадок . Будь-яке число в інтервалі однозначно представляється двійковим вектором довжини . Якщо послідовність задана, то покладемо
Випадок із взаємно простими співмножниками.
1.25 Згортка послідовностей та її обчислення
Зсув послідовності. Нехай є послідовність . Можна перетворити її в нескінченну послідовність, поклавши . Виберемо ціле й визначимо . Знайдемо зв'язок між перетвореннями Фур'є цих послідовностей. Маємо
Циклічна згортка. Нехай є послідовності і Визначимо їхню згортку
1.26 Використання вікон
Короткочасне перетворення Фур'є. Нехай є вихідна послідовність великої довжини. Потрібно вивчити її спектр за допомогою ДПФ. Це означає, що насправді буде досліджена лише частина послідовності довжини . Вибирають вікно відповідної довжини, після чого, пересуваючи вікно уздовж послідовності, одержують набір спектральних коефіцієнтів, що залежать від положення вікна. Це і є короткочасний спектр. У цьому змісті процедура нагадує вейвлет-перетворення. Вибір довжини вікна є компромісом між точністю й роздільною здатністю. Чим довше вікно, тим більше коефіцієнтів буде знайдено, але при цьому будуть отримані усереднені по довжині вікна характеристики.
1.27 Автокореляція та її обчислення
1.27 Автокореляція та її обчислення
Випадок кінцевої послідовності. При практичному використанні автокореляційної функції звичайно мають справу з кінцевими послідовностями. Нехай дана послідовність . Визначимо функцію (як звичайно, послідовність вважається періодичною). Повторюючи попередні міркування, одержимо для кінцевого перетворення Фур'є в дійсному випадку аналог (1.42)
Практичне оцінювання частот. У попередніх розглядах не враховувалася частота вибірки з вихідного безперервного сигналу. Маємо
.
Розглядаючи це вираження як наближення відповідного інтеграла, одержимо, що даний коефіцієнт відповідає частоті . При виборі значення варто враховувати наступну обставину - збільшення підвищує роздільну здатність, але при цьому відбувається усереднення по довжині вікна. Якщо для оцінки періоду використана автокореляційна функція, то максимуму цієї функції в точці відповідає частота .
Застосування автокореляційної функції. Як приклад укажемо застосування автокореляційної функції для обчислення частоти основного тону мовного сигналу. У цей час немає математичного визначення цієї частоти. На рис.16 наведений приклад виду сигналу, що відповідає проголошенню звуку "а". На рисунку проглядається періодичний характер коливань. Фактичне значення знайденої частоти залежить від способу оцінки. Найпростіший спосіб - підрахунок за допомогою перетворення Фур'є. Це показано на рис.17.
Основному тону відповідає частота, для якої досягається максимум. Цей спосіб не дуже підходить, якщо поблизу максимуму графік є пологим.
Розглянемо інші підходи.
Застосування крос-кореляційної функції. Нехай є вхідна послідовність великої довжини й зразок значно меншої довжини . Потрібно з'ясувати, чи є присутнім зразок у вхідній послідовності, і якщо є присутнім, визначити його місцезнаходження. Фактично вейвлет-перетворення спочатку виникло як узагальнення цієї задачі. Очевидно, що при наявності перекручувань, задача не має точного рішення. Можна говорити лише про близькість у деякому сенсі відрізка вхідної послідовності й зразка. У дійсному випадку як міру близькості часто використають функцію
й шукають значення аргументу, для яких ця функція має локальний максимум. Після цього, відповідні відрізки вхідної послідовності піддаються додатковому дослідженню. Головна мета - указати методи, за допомогою яких здійснюється підрахунок значень , оскільки безпосередні обчислення вимагають значних ресурсів.
Процесор малої потужності. Припустимо, що процесор швидко робить лише операції додавання й вирахування із цілими числами. Для підрахунку добутку використається наступний прийом. Маємо . У пам'яті зберігаються значення квадратів можливих значень, а ділення на 4 у двійковому коді зводиться до логічного зрушення на дві позиції.
Використання ШПФ. Навіть при наявності потужного процесора безпосередній підрахунок всіх потрібних значень є трудомісткою задачею. Для зменшення числа множень використається наступний підхід. Зразок заміняється послідовністю довжини . Із вхідної послідовності утворюють послідовності довжини , . Після цього підраховується циклічна згортка
.
1.28 Перетворення Хартлі
Зв'язок з перетворенням Фур'є. З визначення випливає формула, що дозволяє знайти перетворення Фур'є, якщо відомо перетворення Хартлі:
=
= .
Неважко бачити, що матриця переходу від одного базису до іншого є унітарною. Звідси випливає ортогональність нового базису.
1.31 Код Грея
1.32 Перетворення Хаара
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ