Dieses Buch liefert anschauliche und teilweise detaillierte Einblicke in die Strukturen der Euklidischen und Riemannschen Geometrie sowie deren Verschmelzung mit den Gegenständen der Physik. Entwickelt wird eine Analysis auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Im Mittelpunkt stehen dabei die sorgfältige Herausarbeitung von Ableitungsbegriffen (kovariante Ableitung, Lie-Ableitung, äußere Ableitung) und des Integralbegriffes auf der Basis von Differentialformen.
Anhand der Raumzeit-Problematik und mit Exkursionen in die Elektrodynamik, die relativistische Gravitation und die Kontinuumsmechanik werden Verbindungen zwischen Geometrie und Physik hergestellt sowie physikalische Konzepte aus geometrischer Sicht interpretiert.
Im gesamten Buch flankieren möglichst einfache Beschreibungen und Erläuterungen die präzisen Ausdrücke der Formelsprache. Darüber hinaus tragen zahlreiche Beispiele und Skizzen zum Verständnis bei. Auch Hinweise, die dem versierten Leser überflüssig erscheinen mögen, werden zugunsten der im Lernprozess stehenden Leser nicht ausgelassen. Klassische – teils sehr technische – Beweise werden mitunter nur angedeutet oder durch Plausibilitätserklärungen ersetzt.
Vorausgesetzt werden Grundlagen der Differential- und Integralrechnung sowie der linearen Algebra – insbesondere der Umgang mit Matrizen, Determinanten und die Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Im ersten Kapitel findet sich ein behutsam hinführender Überblick zu den nötigen algebraischen Grundlagen.
Author(s): Heinz Gründemann
Edition: 1
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2022
Language: German
Pages: 791
City: Berlin
Tags: Kontinuumsphysik, Tensoren, Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Differenzialtopologie, Differentialform, Lie-Gruppe, Euklidische Geometrie, Riemannsche Geometrie, Eichfeldtheorie, Differenzialgeometrie, Gravitation
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2 Algebraische Grundlagen
2.1 Mengen
2.2 Abbildungen
2.3 Äquivalenzrelationen
2.4 Gruppen
2.4.1 Definition und Beispiele
2.4.2 Untergruppen und Normalteiler
2.5 Ringe und Körper
2.5.1 Definitionen und Beispiele
2.5.2 Körper der komplexen Zahlen
2.6 Homomorphismen
2.7 Vektorräume
2.7.1 Definitionen und Beispiele
2.7.2 Vektorraum - Homomorphismen
2.8 Duale Vektorräume
2.8.1 Dualitäten
2.8.2 Duale Abbildungen
2.9 Matrizen
2.9.1 Homomorphismen und Matrizen
2.9.2 Matrizenarithmetik
2.10 Basistransformationen
2.10.1 Basis- und Koordinatentransformationen
2.10.2 Transformationsformeln für Homomorphismen
2.11 Determinanten
2.11.1 Definition und Eigenschaften
2.11.2 Permutationen
2.11.3 Formeln von Leibniz und Laplace
2.11.4 Determinante eines Endomorphismus
2.12 Orientierung von Vektorräumen
3 Euklidische Geometrie
3.1 Bilinearformen
3.1.1 Definitionen und Beispiele
3.1.2 Isomorphismus V ≃ V*
3.1.3 Adjungierter Homomorphismus
3.2 Euklidische Vektorräume
3.2.1 Definitionen und Beispiele
3.2.2 Assoziierte Vektoren
3.3 Orthogonalität
3.3.1 Orthogonale Vektoren
3.3.2 Orthogonalität in pseudo-Euklidischen Vektorräumen
3.3.3 Kreuzprodukt
3.4 Orthogonale Endomorphismen
3.4.1 Definition und Eigenschaften
3.4.2 Matrixdarstellung orthogonaler Endomorphismen
3.4.3 Spezielle orthogonale Endomorphismen
3.5 Lorentz-Räume
3.5.1 Allgemeine Lorentz-Raum Struktur
3.5.2 Lorentz-Transformationen
3.6 Affine Räume
3.6.1 Definitionen
3.6.2 Affine Abbildungen
3.6.3 Affine Koordinatensysteme
3.6.4 Koordinatendarstellung affiner Abbildungen
3.6.5 Affine Unterräume
3.6.6 Erlanger Programm
3.7 Euklidische Räume
3.7.1 Definitionen und Eigenschaften
3.7.2 Die Euklidische Gruppe
4 Raumzeit
4.1 Affine Raumzeit
4.2 Galilei-Raumzeit
4.3 Lorentz-Raumzeit
4.3.1 Lichtkegel
4.3.2 Kausalität der Lorentz-Raumzeit
4.3.3 Weltlinien und Eigenzeit
4.3.4 Simultane Hyperflächen und Ruhräume
4.3.5 Kinematik
4.3.6 Poincare-Gruppe
4.3.7 Dynamik
5 Tensoren
5.1 Bilineare und Multilineare Abbildungen
5.2 Tensorprodukte
5.2.1 Tensorprodukt zweier Vektorräume
5.2.2 Höhergradige Tensorprodukte
5.3 Tensorabbildungen
5.3.1 Produkt von Tensoren
5.3.2 Assoziierte Tensoren
5.3.3 Kontraktion
5.3.4 Pull-back und Push-forward
5.4 Symmetrische Multilinearformen
5.5 Alternierende Multilinearformen
5.5.1 Definition und Eigenschaften
5.5.2 Äußeres Produkt
5.5.3 Dualität und innere Produkte
5.5.4 Äußere (Grassmann) Algebra
5.6 Hodge-Dualität
6 Mannigfaltigkeiten
6.1 Topologische Räume
6.2 Differenzierbare Funktionen
6.3 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
6.4 Quotientenmannigfaltigkeiten
6.5 Projektive Räume
6.6 Glatte Abbildungen
6.7 Untermannigfaltigkeiten
6.7.1 Untermannigfaltigkeiten als Nullstellenmengen
6.7.2 Parametererzeugte Untermannigfaltigkeiten
6.7.3 Allgemeines zu Untermannigfaltigkeiten
6.8 Zerlegung der Eins
7 Lokalisierungen und Felder
7.1 Tangentialräume
7.1.1 Geometrische Interpretation von Tangentialräumen
7.1.2 Physikalische Interpretation von Tangentialräumen
7.1.3 Algebraische Interpretation von Tangentialräumen
7.2 Struktur der Tangentialräume
7.2.1 Struktur des Tangentialraumes Tp(M)
7.2.2 Struktur des Kotangentialraumes T*p (M)
7.3 Tangentialbündel
7.4 Tangentiale (Differentiale)
7.5 Vektorfelder
7.5.1 Richtungsableitung bezüglich eines Vektorfeldes
7.5.2 Vektorfelder als Derivationen
7.5.3 Kommutator über Vektorfelder
7.5.4 Kovariante Vektorfelder
7.6 Vektorbündel und Tensorfelder
7.7 Pull-back und push-forward
8 Differentialformen
8.1 Äußere Algebra der Differentialformen
8.2 Pull-back zu Differentialformen
8.3 Äußere Ableitung
8.4 Poincare-Lemma
8.5 De Rham-Komplex
9 Fluss und Lie-Ableitung
9.1 Fluss eines Vektorfeldes
9.2 Derivationen
9.3 Lie-Ableitung
9.3.1 Lie-Ableitung für Vektorfelder
9.3.2 Lie-Ableitung für Tensorfelder
9.4 Lie-Ableitung zu Differentialformen
9.5 Integral-Mannigfaltigkeiten
10 Zusammenhang
10.1 Affiner Zusammenhang
10.2 Kovariante Ableitungen
10.3 Paralleltransport
10.4 Holonomie
10.5 Geodäten
10.6 Torsion
10.7 Krümmung
10.8 Zusammenhänge im Cartan-Kalkül
11 Riemannsche Geometrie
11.1 Mannigfaltigkeiten mit innerem Produkt
11.2 Induzierte Riemannsche Mannigfaltigkeiten
11.3 Isometrische Abbildungen
11.4 Levi-Civita-Zusammenhang
11.5 LC-Zusammenhang über Differentialformen
11.6 Induzierte Levi-Civita-Zusammenhänge
11.7 Krümmung
11.8 Schnittkrümmungen
11.9 Hyperflächen im Rm+1
11.10 Einstein-Räume und Einstein-Tensoren
11.11 Geodäten
11.11.1 Exponentialabbildung
11.11.2 Normalkoordinaten
11.11.3 Variation von Kurven - Geodäten kürzester Länge
12 Integrale und Variationen
12.1 Orientierung
12.2 Mannigfaltigkeiten mit Rand
12.3 Riemann-Integrale
12.4 Volumenformen
12.5 Integrale über Differentialformen
12.6 Integralsatz von Stokes
12.7 Variationsrechnung
12.8 Noether-Theorem
13 Differentialoperatoren
13.1 Gradient und Rotation
13.2 Divergenz
13.3 Kodifferential
13.4 Hodge-Laplace-Operator
13.5 Cartan-Kalkül
13.6 Integralsätze
14 Elektro-magnetische Felder
14.1 Maxwell-Gleichungen
14.2 Relativistische Elektrodynamik
14.3 Energie und Impuls
15 Gravitation
15.1 Newtonsche Gravitationstheorie
15.2 Äquivalenzprinzip
15.3 Blätterung der Raumzeit
15.4 Energie-Impuls-Tensor
15.5 Einsteinsche Feldgleichungen
15.6 3+1 Formalismus
16 Kontinuumsmechanik
16.1 Kinematik deformierbarer Körper
16.1.1 Deformation und Verzerrung
16.1.2 Bewegung in der Zeit
16.1.3 Objektivität
16.2 Kinetik deformierbarer Körper
16.2.1 Massebilanz
16.2.2 Master-Bilanz und Cauchy-Theorem
16.2.3 Impulsbilanzen und Spannungen
16.2.4 Energiebilanz
16.3 Konstitutive Gleichungen
16.3.1 Elastisch deformierbare Körper
16.3.2 Gase und Flüssigkeiten
A Nomenklatur
Literaturverzeichnis
Symbol- und Stichwortverzeichnis
