Uma Introdução às desigualdades Isoperimétricas

Conteúdo
Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 O Problema Isoperimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.l Áreas e comprimentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Formulações do problema isoperimétrico. . . . . . . . . . . . . 6
1.3 O problema isoperimétrico para polígonos. . . . . . . . . . . . 7
1.4 O problema isoperimétrico para curvas de Jordan retificáveis . 14
1.5 0 problema isoperimétrico em IR³. . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Auto-valores do Laplaciano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Séries de Fourier e a equação das ondas em uma variável . . . 27
2.2 0 problema da membrana vibrante . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Propriedades do primeiro autovalor. . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 A desigualdade de Faber-Krahn. . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 O teorema de Weyl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Outras Desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1 A desigualdade de Brunn-Minkowski. . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 As desigualdades de Wirtinger e de Sobolev. . . . . . . . . . 65
3.3 O problema isoperimétrico em superfícies e outros tópicos. . . 71