本书是高等学校数学与应用数学专业“泛函分析”课程的教材。全书主要内容包括：绪论，距离空间，赋范空间，内积空间与Hilbert 空间，有界线性算子，共轭空间和共轭算子，线性算子的谱理论，附录。
本书从有限维空间元素的分解、对称矩阵按照特征值对角化等实例出发，采用类比、归纳等方法，把有限维空间的数学方法自然地推广到无穷维空间。第一、二、三章建立起相应的空间框架，第四、五、六章介绍了有界线性算子的重要性质，自共轭算子、紧算子的谱分解结构。本书在讲述上更多地强调问题的来源和背景，努力做到深入浅出。为了便于学习阅读，定理的证明写得较为详细，其用到的条件都加以标示，并且在一些重要定理前加入了较为详细的证明思路分析。每章的后面还配备了数量较多的习题。
本书还配套了一些数字化资源，其中包括每章的学习指南、概念辨析（可通过手机进行在线自测），部分习题的解题指导，特别是在每章还增加了两到三个微视频，对本章的重点、难点，问题的背景和一些重要的概念给出简要的解读，供读者预习、复习或自学时参考。本书可作为综合性大学、理工科大学、师范院校“泛函分析”课程的教材，也可作为非数学专业研究生“泛函分析”课程的教材，同时可供青年教师和数学工作者学习参考。
Author(s): 孙炯; 贺飞; 郝晓玲; 王万义; 赫建文
Edition: 2
Publisher: 高等教育出版社
Year: 2018
Language: Chinese
Commentary: 带数字资源
Pages: 224
City: 北京
封面
版权
第二版前言
第一版前言
目录
第〇章 绪论
0.1 泛函分析的研究对象和方法
0.2 有限维空间的坐标分解和算子分解
0.3 无穷维空间的类比和联想
0.4 无穷维空间的坐标分解
0.5 无穷维空间的算子分解与谱分解
第一章 距离空间
1.1 距离空间的基本概念
1.1.1 距离空间的定义
1.1.2 距离空间的例
1.1.3 距离空间中的收敛
1.2 开集和连续映射
1.2.1 开集、邻域
1.2.2 连续映射
1.3 闭集 可分性 列紧性
1.3.1 距离空间中的闭集
1.3.2 闭集的结构
1.3.3 可分的距离空间
1.3.4 列紧的距离空间
1.4 完备的距离空间
1.4.1 Cauchy列
1.4.2 完备的距离空间
1.4.3 完备与不完备距离空间的例
*1.4.4 距离空间的完备化
1.5 完备距离空间的性质和一些应用
1.5.1 闭球套定理
1.5.2 压缩映射原理
1.5.3 压缩映射原理的应用
习题一
第二章 赋范空间
2.1 赋范空间的基本概念
2.1.1 赋范空间和Banach空间的定义
2.1.2 范数的连续性
2.1.3 范数与距离的关系
2.2 完备的赋范空间
2.2.1 连续函数空间上定义的不同范数
*2.2.2 赋范空间的完备化
2.2.3 L^p空间
2.2.4 L^∞空间
2.2.5 l^p空间
2.3 赋范空间的几何结构
2.3.1 凸集
2.3.2 子空间
2.3.3 Riesz引理
2.4 有限维的赋范空间
2.4.1 等价的范数
2.4.2 有限维空间
2.4.3 有限维赋范空间的几何特征
*2.5 赋范空间的进一步性质
2.5.1 赋范空间中的级数
2.5.2 赋范空间的商空间
2.5.3 赋范空间的乘积空间
习题二
第三章 内积空间与Hilbert空间
3.1 内积空间的基本性质
3.1.1 内积空间的定义
3.1.2 由内积生成的范数
3.1.3 内积和相应范数的关系
3.1.4 完备的内积空间
3.2 正交与正交分解
3.2.1 正交的定义
3.2.2 正交补集
3.2.3 最佳逼近
3.2.4 Hilbert空间的正交分解
3.3 正交系、正交投影和Fourier级数
3.3.1 内积空间的正交系
3.3.2 最佳逼近和正交投影
3.3.3 正交投影和Fourier级数
3.3.4 Bessel不等式和Fourier级数的收敛性
3.4 正交基和正交列的完备性
3.4.1 正交基
3.4.2 正交列的完备性
3.4.3 标准正交基的例
3.5 可分的Hilbert空间
3.5.1 线性无关的正交化算法
3.5.2 可分的Hilbert空间与l^2等距同构
习题三
第四章 有界线性算子
4.1 有界线性算子与有界线性泛
4.1.1 有界线性算子与有界线性泛函的定义
4.1.2 有界线性算子组成的赋范空间
4.1.3 有界线性算子的例
4.1.4 有界线性算子范数的计算
4.2 有界线性算子空间的收敛与完备性
4.2.1 有界线性算子空间中的收敛性
4.2.2 有界线性算子空间的完备性
4.3 一致有界原则
4.3.1 Baire纲定理
4.3.2 一致有界原则
4.3.3 强收敛意义下的完备性
*4.3.4 共鸣定理的应用
4.4 开映射定理与逆算子定理
4.4.1 逆算子
4.4.2 开映射定理
4.4.3 逆算子定理
4.5 闭算子与闭图像定理
4.5.1 闭算子的定义
4.5.2 闭算子的例
4.5.3 闭图像定理
习题四
第五章 共轭空间和共轭算子
5.1 Hahn-Banach定理
5.1.1 Hahn-Banach定理
5.1.2 Hahn-Banach定理的推论
5.1.3 线性泛函和闭集分离
5.2 共轭空间
5.2.1 共轭空间的概念
5.2.2 L^p[a,b]的共轭空间(1
5.3 Hilbert空间的共轭空间 共轭算子
5.3.1 Riesz表示定理
5.3.2 Hilbert空间的共轭空间
5.3.3 Hilbert空间上的共轭算子
5.4 自共轭的有界线性算子
5.4.1 有界自共轭算子的定义和例
5.4.2 自共轭算子的性质
5.4.3 Cartesian分解
*5.5 Banach空间上的共轭算子 弱收敛
5.5.1 Banach空间上的共轭算子
5.5.2 自反性
5.5.3 弱收敛
5.5.4 一些具体空间中的弱收敛
习题五
第六章 线性算子的谱理论
6.1 谱集和正则点集
6.1.1 从线性代数和微分方程中的特征值问题到线性算子的谱理论
6.1.2 谱点和正则点的定义
6.1.3 特征值和特征元素
*6.1.4 闭线性算子的正则点
6.2 有界线性算子的谱集
6.2.1 有界线性算子的谱集是有界集
6.2.2 有界线性算子的谱集是闭集
6.2.3 有界线性算子的谱集非空
*6.2.4 有界线性算子的谱半径
6.3 有界自共轭线性算子的谱
6.3.1 有界自共轭线性算子剩余谱集是空集
6.3.2 有界自共轭线性算子谱集的性质
6.3.3 有界自共轭线性算子谱的分布
6.4 紧线性算子的谱
6.4.1 紧线性算子的定义和例
*6.4.2 紧线性算子空间
6.4.3 紧线性算子的特征值
6.4.4 紧线性算子的剩余谱和连续谱
6.4.5 Fredholm抉择定理
习题六
参考文献
附录I 距离空间的紧性
I.1 列紧集,完全有界集
I.2 紧集
I.3 不同空间中紧集的充要条件
I.4 弱列紧
附录II 线性空间
II.1 线性空间的概念
II.2 线性无关和线性相关
II.3 线性空间的维数与Hamel基
附录III L^p空间
III.1 L^p空间完备性的证明
III.2 L^p空间的收敛性
附录IV 有界变差函数空间V[a,b]
IV.1 空间V[a,b]
IV.2 C[a,b]的共轭空间
概念辨析
部分习题参考答案一
部分习题参考答案二
部分习题参考答案三
部分习题参考答案四
部分习题参考答案五
部分习题参考答案六
