理工系で学ぶ「ベクトル解析」と「曲線・曲面」について、両者の関連性に着目しつつ解説。微分形式の具体例と応用にも触れる。
Author(s): 小林真平
Series: 日評ベーシック・シリーズ
Publisher: 日本評論社
Year: 2016
Language: Japanese
Pages: 216
はじめに
本書で用いる記号
目次
第1章 ベクトルと微分積分の基本
1.1 幾何ベクトル
1.2 内積
1.3 外積
1.4 右手系，左手系
1.5 ベクトルの微分・積分
1.6 ベクトルの1次独立性と外積
演習問題
A 1.1-1.2
A 1.3
第2章 曲線
2.1 平面曲線
2.2 弧長バラメータ
2.3 フレネ-セレの公式（平面曲線の場合）
2.4 曲率の意味
2.5 空間曲線
2.6 フレネ-セレの公式（空間曲線の場合）
2.7 空間曲線の捩率の意味
2.8 曲線の長さ
演習問題
A 2.1-2.2
A 2.3
第3章 曲面
3.1 曲面
3.2 曲面の面積
3.3 主曲率とガウス曲率および平均曲率
3.4 基本形式
演習問題
A 3.1
A 3.2
第4章 ベクトル場とその演算
4.1 ベクトル場とは
4.2 勾配ベクトル場
4.3 ベクトル場の発散
4.4 ベクトル場の回転
4.5 ベクトル場の演算
4.6 ベクトル場の種々の公式
演習問題
A 4.1
A 4.2-4.4
第5章 ベクトル場の積分
5.1 線積分
5.2 面積分
5.3 平面上の積分定理
5.4 空間上の積分定理
5.5 積分定理の証明（特別な領域の場合）
演習問題
A 5.1
A 5.2-5.3
第6章 ベクトル解析と物理学
6.1 スカラーポテンシャルとエネルギー保存則
6.2 ベクトルポテンシャルとビオ-サバールの法則
6.3 質量保存則とガウスの発散定理
6.4 電磁気学のマクスウェルの方程式
演習問題
A 6.1-6.2
A 6.3-6.4
第7章 双対空間と微分形式
7.1 ベクトル空間の基底
7.2 ベクトル場のなすベクトル空間
7.3 双対空間
7.4 双対空間と1次微分形式
7.5 2次および3次の微分形式
7.6 微分形式の外積
7.7 双対空間の双対
演習問題
A 7.1-7.2
A 7.3-7.4
第8章 外微分とベクトル場
8.1 外微分
8.2 ホッジのスター作用素
8.3 外微分とベクトル場
8.4 ポアンカレの補題
演習問題
A 8.1-8.3
第9章 積分定理の証明
9.1 微分形式の引き戻し
9.2 微分形式の積分
9.3 積分定理の書き換え
9.4 ストークスの定理の証明
演習問題
A 9.1-9.2
第10章 曲面の幾何
10.1 閉曲面のオイラー標数とベクトル場の指数
10.2 ガウス-ボンネの定理とポアンカレ-ホップの指数定理
10.3 定理の証明
演習問題
A 10.1
A 10.2-10.4
付録
参考文献
演習問題の解答
索引
