Intégration : Intégrale de Lebesgue et introduction à l’analyse fonctionnelle

Couverture
Page de titre
1 Introduction
1.1 Rappels sur l'intégrale de Riemann
1.2 Insuffisances de l'intégrale de Riemann
1.3 Rappels
1.4 Problèmes et exercices
2 Espaces mesurables, fonctions mesurables, mesures
2.1 Espaces mesurables
2.2 Fonctions mesurables
2.3 Mesures
2.4 Mesure de Lebesgue
2.5 Presque partout
2.6 Preuve du théorème de Carathéodory
2.7 Problèmes et exercices
3 Intégration des fonctions mesurables
3.1 Construction de l'intégrale
3.2 L'espace L¹(X;dµ)
3.3 Problèmes et exercices
4 Compléments sur les fonctions intégrables
4.1 Intégrales à paramètres
4.2 Théorèmes de Fubini
4.3 Changements de variables
4.4 Convolution et régularisation
4.5 Espaces L^p
4.6 Problèmes et exercices
5 Espaces de Hilbert
5.1 Définitions
5.2 Orthogonalité ; théorème de projection
5.3 Bases hilbertiennes, séries de Fourier
5.4 Exemple fondamental : fonctions L² périodiques
5.5 Ce que le cas hilbertien peut nous apprendre sur les espaces de fonctions intégrables
5.6 Problèmes et exercices
6 Transformée de Fourier
6.1 Transformée de Fourier dans L¹(RN)
6.2 Algèbre de Wiener
6.3 Transformée de Fourier dans L²(RN)
6.4 Équation de la chaleur
6.5 Problèmes et exercices
7 Théorèmes de compacité dans les L^p
7.1 Compléments d'analyse fonctionnelle
7.2 Compléments de topologie ; topologies forte, faible et faible-?
7.3 Critere de compacite faible dans les espaces Lp
7.4 Équicontinuité et compacité
7.5 Compacité forte dans L^p
7.6 Applications : convergences faible, forte et presque partout ; produits
7.7 Problèmes et exercices
Bibliographie
Appendice Théorème de Stone-Weierstrass
Index
Liste des exercices et problèmes
1.1 Une caractérisation de la fonction nulle
1.2 Problème : intégrales, convergences simple et uniforme
1.3 Un piège
1.4 Problème : intégrale de Dirichlet
1.5 Convergences en normes L∞ et L^l
1.6 Applications du théorème de Lebesgue, I
1.7 Bosse glissante
1.8 Applications du théorème de Lebesgue, II
1.9 Applications du théorème de Lebesgue, III
1.10 Applications du théorème de Lebesgue, IV
1.11 Approximation de la masse de Dirac
1.12 Continuité des translations
1.13 Lemme de Riemann-Lebesgue
1.14 Familles sommables
2.1 Ensembles mesurables
2.2 Mesure de Lebesgue
2.3 Sur l'approximation de réels par des rationnels
2.4 Théorème de Lebesgue-Stieljès
2.5 Mesures absolument continues
2.6 Mesures régulières sur R^N
2.7 Théorème de Radon-Riesz
2.8 Lemme de Borel-Cantelli
2.9 Réflexions sur pp
2.10 Intégrale du module et module de l'intégrale
2.11 Convergence en mesure
2.12 Preuve du théorème d'Egoroff
2.13 Problème : L'ensemble de Cantor et l'escalier du diable
2.14 Dénombrables, négligeables, d'intérieurs vides
2.15 Fonction de répartition
2.16 Remarques sur les fonctionS intégral)les
3.1 Intégration sur N
3.2 Une expression de \sum 1/n²
3.3 Retour sur l'approximation de réels par des rationnels
3.4 Calcul d'une intégrale
3.5 Propriétés d'une fonction intégrable
3.6 Étude d'une suite
3.7 Calcul d'une intégrale
3.8 Bis repetita
3.9 Limites, sommes et intégrales
3.10 Convergence pp et en norme
3.11 Convergence pp et en norme, bis
3.12 Calcul d'équivalent
3.13 Action de fonctions continues sur des fonctions intégrables
3.14 Une expression de \sum 1/n³
3.15 Limite d'intégrales
3.16 Étude d'un opérateur sur L^l([0,1])
3.17 Théorème de Vitali
4.1 Intégrales à paramètres
4.2 Intégrale à paramètre et calcul de l'intégrale de la gaussienne
4.3 Discussion sur le théorème de Fubini
4.4 Intégrabilité sur RN de fonctions radiales
4.5 Des calculs utiles
4.6 Retour sur l'intégrale de Dirichlet
4.7 Intégrale à paramètres et calcul, I
4.8 Intégrale à paramètres et calcul, II
4.9 Théorème de Fubini et calcul
4.10 Potentiel newtonien créé par une boule
4.11 Équation de transport
4.12 Étude d'une fonction définie par une intégrale
4.13 Etude d'un opérateur linéaire sur L¹
4.14 Calculs de sommes et intégrales
4.15 Encore des calculs de sommes et intégrales
4.16 C est algébriquement clos
4.17 Approximation dans L²
4.18 Comportement de suites dans L^p
4.19 Interpolation
4.20 Convolution dans L^p
4. 21 Normes L^p
4.22 Un résultat de convergence dans L^p
4.23 Problème : Inégalité de Hardy
4.24 Problème : etc
4.25 Opérateurs à noyaux
5.1 Projection
5.2 Problèmes de minimisation
5.3 Problème : Projection sur un convexe
5.4 Autour de Lax-Milgram
5.5 Formulation variationnelle
5.6 Séries de Fourier
5.7 Précision spectrale de la méthode des rectangles
5.8 Contre-exemple de Du Bois Reymond
5.9 Sur la Convergence ponctuelle des séries de Fourier
5.10 Problème : convergence ponctuelle des séries de Fourier, noyau de Dirichlet, théorème de Dirichlet
5.11 Problème : sur un opérateur compact défini en termes de série de Fourier
5.12 Équation de la chaleur et équation des ondes
5.13 Fonctions harmoniques
5.14 Opérateur défini sur un espace de Hilbert
5.15 Problème : analyse spectrale des opérateurs compacts
6.1 Calculs de transformées de Fourier
6.2 Chirps
6.3 Espace de Schwartz
6.4 Principe d'incertitude de Weyl-Heisenberg
6.5 Problème : Formule Sommatoire de Poisson
6.6 Problème : théorème d'échantillonnage de Shannon
6.7 Calcul d'une transformée de Fourier
6.8 Problème : Formule d'inversion et égalité d'énergie
6.9 Théorème de Sobolev
6.10 Opérateur commutant avec les translations
6.11 Phénomène de Gibbs
7.1 Problème : homogénéisation
7.2 Problème : suites de mesures et passage à la limite