Algèbre linéaire 1

Introduction
I Ensembles, fonctions, récurrence
Ensembles
Relations et fonctions
Raisonnement par récurrence
II Cours d'algèbre linéaire 1
Espaces vectoriels et applications linéaires
Les huit axiomes d'un espace vectoriel
Applications linéaires
Matrice d'une application linéaire RpRn
Produit d'espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Définition et caractérisation
Sous-espace engendré par un nombre fini de vecteurs
Intersection de sous-espaces et systèmes d'équations linéaires
Sommes de deux sous-espaces
Bases et dimension
Dépendance et indépendance linéaire
Bases: existence et unicité de la dimension
Bases des sous-espaces
Calcul d'une base d'un sous-espace engendré
Base d'un produit cartésien
Applications linéaires
Exemples
Propriétés
Applications linéaires et sous-espaces
Injections, surjections, isomorphismes
Applications linéaires et bases
Matrice d'une application linéaire et changement de bases
Calcul d'une base du noyau d'une application linéaire
Diagonalisation
Valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme
Polynôme caractéristique
Endomorphisme diagonalisable
Diagonalisation des matrices
Calcul d'une base d'un sous-espace propre et diagonalisation effective
Applications de la diagonalisation
Puissance d'une matrice
Une équation différentielle matricielle
Espaces euclidiens
Produits scalaires et bases othonormales
Orthonormalisation de Gram-Schmidt
Diagonalisation des matrices symétriques
Les nombres complexes et les espaces vectoriels associés
Preuve du théorème 10.4
III Appendice: rappels du cours de CEGEP
Système d'équations linéaires: résolution par la méthode d'élimination des variables, ou de substitution
Matrices
Définitions (rappels)
Matrices: somme et produit externe
Produit de matrices
Matrices inversibles
Système d'équations linéaires de Cramer
Opérations de lignes
Système d'équations linéaires: méthode de Gauss
Déterminants
Développement selon la première colonne
Formule du produit
Inversion des matrices et déterminants
Développement du déterminant selon une ligne ou colonne quelconque
Système de Cramer (suite)
Solutionnaire (esquisses)