Die algebraische Geometrie ist eines der großen aktuellen Forschungsgebiete der Mathematik und hat sich in verschiedene Richtungen und in die Anwendungen hinein verzweigt. Ihre grundlegenden Ideen sind aber bereits im Anschluss an die Algebra-Vorlesung gut zugänglich und stellen für viele weitere Vertiefungsrichtungen eine Bereicherung dar.
Diese Einführung baut deshalb auf der Algebra auf und richtet sich an Bachelor- und Master-Studierende etwa ab dem fünften Semester. Die geometrischen Begriffe werden erst nah an der Algebra eingeführt – illustriert durch viele Beispiele. Anschließend werden sie auf die projektive Geometrie übertragen und weiterentwickelt. Auch weiterführende Konzepte aus der kommutativen Algebra und die Grundlagen der Computer-Algebra kommen dabei zum Tragen, ohne die technischen Anforderungen zu hoch zu schrauben.
Author(s): Daniel Plaumann
Series: Springer Spektrum
Edition: 1
Publisher: Springer
Year: 2020
Language: German
Pages: 181
Tags: Algebraische Geometrie,
Vorwort
Hinweise zur Literatur
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1 Ebene Kurven
Kapitel 2 Affine Geometrie
2.1 Affine Varietäten
2.2 Ein elementarer Beweis des Nullstellensatzes
2.3 Irreduzibilität und Komponenten
2.4 Koordinatenringe
2.5 Morphismen
2.6 Funktionenkörper und rationale Abbildungen
2.7 Lokale Ringe
2.8 Dimension
2.9 Weitere Dimensionsaussagen
2.10 Tangentialraum und Singularitäten
Kapitel 3 Projektive Geometrie
3.1 Projektive Räume
3.2 Projektive Varietäten
3.3 Ebene projektive Kurven
3.4 Eigenschaften projektiver Varietäten
3.5 Segre- und Veronese-Varietäten
3.6 Elimination
3.7 Hilbert-Funktion und Hilbert-Polynom
3.8 Graßmann-Varietäten
Kapitel 4 Lokale Geometrie
4.1 Topologische Räume
4.2 Quasiaffine und quasiprojektive Varietäten
4.3 Morphismen
4.4 Rationale Abbildungen und Funktionenkörper
4.5 Dimension quasiprojektiver Varietäten
Kapitel A Kommutative Algebra
A.1 Kommutative Ringe und Moduln
A.1.1 Ringe
A.1.2 Moduln
A.2 Noethersche Ringe
A.2.1 Der Hilbert’sche Basissatz
A.2.2 Faktorielle Ringe
A.2.3 Die Primärzerlegung
A.3 Algebraische Unabhängigkeit
Kapitel B Gröbnerbasen
B.1 Monomiale Ideale
B.2 Monomordnungen und Division mit Rest
B.3 Gröbnerbasen
B.4 Anwendungen
Literatur
Index
