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1 01 Resolucion problemas
1 02 DIVISIBILIDAD
El sistema de numeración decimal
En este sistema el valor de una cifra en un número es diez veces mayor que el de la cifra situada a su derecha y diez veces menor que el valor de la situada a su izquierda. Por eso se dice que es un sistema posicional: el valor de una cifra en un núme...
0 100 = 0
2 1 000 = 2 000
5 10 000 = 50 000
6 100 000 = 600 000
4 1 000 000 = 4 000 000
Otros sistemas de numeración
Cifras del sistema binario
Multiplicación de números naturales
Como ya sabes, multiplicar dos números naturales es equivalente a sumar uno de ellos consigo mismo tantas veces como indica el otro.
Hacer 6 5 es lo mismo que hacer 6 + 6 + 6 + 6 + 6
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma
Sustituyendo las letras a por 2, b por 5 y c por 7, tenemos que:
2 (5 + 7) = (2 5) + (2 7)
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la resta
Considerando otra vez, a, b y c números naturales cualesquiera, se cumple que:
a) (870 4) – (870 3) = 870 (4 – 3) = 870 1 = 870
b) (450 2) + (3 450) = (2 + 3) 450 = 5 450 = 2 250
c) (45 6) – (45 5) = 45 (6 – 5) = 45 1 = 45
Nota:
Recuerda que:
Las palabras “multiplicación” y “producto” no significan lo mismo aunque de manera habitual se usan indistintamente. “Multiplicación” es la operación y “producto”, el resultado.
División de números naturales
Se verifica que:
3 658 = (65 56) + 18
25/5, 25 : 5 y significan lo mismo: la división o el cociente de 25 entre 5.
La expresión:
Nota:
La palabra “cociente” significa el resultado de hacer una “división”
“División” es, pues, la operación, y “cociente” el resultado de esa operación. Los símbolos utilizados para representarlas son:
/, : , y la fracción: ,-.
Divisiones con calculadora
325 5 65
Pero si hacemos:
325 15 21.6666666667
Jerarquía de las operaciones
Existe una prioridad en las operaciones donde no existen paréntesis y es que la multiplicación y la división siempre se realizan antes que las sumas y las restas.
Por tanto, la operación anterior sería:
3 4 + 2 = 12 + 2 = 14
¿Y en 8 : 2 ∙ 3? Son divisiones y multiplicaciones con igual prioridad. Podemos convenir que primero se realiza la primera operación, la que está más a la izquierda: 8 : 2 ∙ 3 = 4 ∙ 3 = 12, en lugar de 8 : 2 ∙ 3 = 8:6 = 4/3.
Observa la diferencia entre estas dos operaciones:
(15 + 10) 3 = 25 3 = 75
15 + 10 3 = 15 + 30 = 45
a) Es importante escribir los paréntesis solo cuando sea necesario. Por ejemplo, en la expresión: (21 2) + 30 resulta innecesario, ya que, por la prioridad en las operaciones, ya sabemos que tenemos que efectuar el producto antes que la suma.
b) Si realizamos una operación en la calculadora sin paréntesis ésta ya respeta la jerarquía en las operaciones, por lo que, si la operación necesitase paréntesis, hemos de incluirlos en la calculadora.
2.1. Múltiplos y divisores de un número entero
Múltiplos de un número
La tabla del 5 que has escrito antes está formada por los valores:
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90,….
Todos ellos son múltiplos de 5.
La notación matemática de este concepto es:
Es decir: = ,0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ....
Divisores enteros de un número
a) 2 es divisor de 8 porque al dividir 8 entre 2, el resto es 0.
b) 10 es divisor de 20 porque al dividir 20 entre 10, el resto es 0.
c) 6 es divisor de 36 porque al dividir 36 entre 6, el resto es 0.
d) 1 es divisor de 18 porque al dividir 18 entre 1, el resto es 0.
e) 18 es divisor de 18 porque al dividir 18 entre 18, el resto es 0.
a) 8 es divisible por 2 porque 2 es divisor de 8, es decir, al dividir 8 entre 2, el resto es 0.
b) 20 es divisible por 10 porque 10 es divisor de 20, es decir al dividir 20 entre 10, el resto es 0.
c) 36 es divisible por 6 porque 6 es divisor de 36, es decir, al dividir 36 entre 6, el resto es 0.
a) Como habrás deducido, las relaciones ser múltiplo y ser divisor son relaciones inversas.
b) No confundas las expresiones ser múltiplo, ser divisor y ser divisible. Veámoslo con un ejemplo:
2.2. Criterios de divisibilidad
Para ver si un número entero es divisible por otro número entero, basta con dividirlos y ver si el resto es 0. Pero cuando los números son grandes, las operaciones pueden resultar complicadas.
La tarea se simplifica si tenemos en cuenta los llamados criterios de divisibilidad que nos permiten saber si un número es divisible por otro sin necesidad de efectuar la división.
Criterio de divisibilidad por 2
Los números: 312, 50, 346, 500, 780, 988 son divisibles por 2.
Criterio de divisibilidad por 3
Criterio de divisibilidad por 4
Criterio de divisibilidad por 5
Los números 4 875 y 34 590 son divisibles por 5.
Criterio de divisibilidad por 6
El número 7 332 es divisible por 6 ya que:
Lo es por 2 por ser par.
Lo es por 3, ya que sus cifras suman 15 que es múltiplo de 3.
Criterio de divisibilidad por 9
Criterio de divisibilidad por 10
El número 59 870 es divisible por 10.
Observa que los números que son divisibles por 10 lo son por 2 y por 5 y viceversa.
Criterio de divisibilidad por 11
2.3. Obtención de todos los divisores de un número entero
Ya sabemos que todo número tiene como divisores a la unidad y a él mismo 1 y 54.
Es divisible por 2. (Termina en cifra par) → 54 : 2 = 27 ( Ya tenemos dos divisores: 2 y 27.
3.2. La criba de Eratóstenes
3.3. Descomposición de un número natural en factores primos
1) Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.
2) Los factores primos en la expresión del número ya factorizado se suelen escribir en orden creciente.
3) Cuando ya tengamos práctica, y con números no demasiado grandes, podemos descomponer un número en producto de dos y luego cada uno de ellos en otros productos hasta que todos los factores obtenidos sean primos.
Por ejemplo: 60 = 30 2.
Como 30 = 15 2 y 15 = 3 5, tenemos que: 60 = 3 5 2 2 y, por tanto, su descomposición es:
60 = 22 3 5
¿Podrías continuar tú la serie con 5 números más?
3.4. Máximo común divisor de varios números
Divisores de 24 ( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Divisores de 36 ( 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
¿Cuáles son los mayores divisores comunes a ambos? Los divisores comunes a ambos son varios: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, pero el mayor de ellos es 12 y se dice que 12 es el máximo común divisor de 24 y de 36.
En el ejemplo anterior, escribiríamos: M.C.D (24, 36) = 12
3.5. Mínimo común múltiplo de varios números
Cálculo del m.c.m.
16 = 24
24 = 23 3
40 = 23 5
a) 84 300 b) 3 333 c) 119 345 d) 903 711
a) 508 744 b) 653 349 001 c) 47 092 157 d) 9 745
a) 28 4 – 28 3 b) 30 4 + 30 2 c) 66 23 – 66 13 d) 700 44 – 700 4
5. Realiza las siguientes divisiones y comprueba con cada una de ellas la propiedad: D = d c + r
a) 3 844 : 45 b) 74 840 : 30 c) 983 035 : 981 d) 847 : 45
6.Halla, utilizando solo la calculadora, los cocientes y los restos de las siguientes divisiones:
a) 654 : 77 b) 543 : 7 c) 8 374 : 85 d) 9 485 : 11 e) 6 590 : 41
7. Realiza las siguientes operaciones:
a) (55 + 12) 4 b) 66 2 + 10 c) 55 + 70 3 + 11 d) 330 – 10 2 + 82
8. Di cuales de las siguientes operaciones tienen el mismo resultado:
a) 2 (46 ( 16) b) 2 46 – 16 c) 2 46 – 2 16 d) 2 (46 + 16) e) 2 46 + 16
9. Realiza las operaciones del ejercicio anterior en la calculadora y comprueba la importancia de añadir los paréntesis.
10. Realiza las siguientes operaciones:
a) 4 (44 + 5) – 6 2 + 9 b) 2 (3 + 11) – (4 + 12) c) (18 – 4) 5 + 3 7 – 13 d) 5 12+(3 – 2) 4 - 3 + 4 5 - 5
11. Inventa un problema en el que tengas que realizar la siguiente operación: 5 + 4(6 - 2)
a) 4 (65 + 7) – 5 2 + 4 b) 2 (3 + 9) - (4 + 8) c) (22 - 4) 5 + 3 2 - 1 d) 5 4 + (4 - 2) 5 – 3 + 4 6 - 5
Sigue los siguientes pasos:
- Piensa en dos números naturales de una cifra.
- Multiplica el primero por 2 y súmale 8.
- Multiplica el resultado anterior por 5.
- Suma el segundo número que habías pensado al resultado anterior.
- Resta 40 al último resultado
¿Qué ocurre? ¿Es casualidad? ¿Pasará siempre lo mismo? ¿Puedes explicarlo?
27. Pedro tiene una forma muy peculiar de dar el teléfono a sus amigos: les dice que consta de nueve cifras, que no se repite ninguna y que leyéndolo de izquierda a derecha se cumple:
¿Sabrías averiguar cuál es su teléfono?
28. Calcula cuántos cuadrados puedes contar en la siguiente figura:
29. Sustituye x e y por valores apropiados para el siguiente número sea divisible por 2 y por 11 a la vez:
2 56x 81y
31. Completa en tu cuaderno con las expresiones “ser múltiplo de”, “ser divisor de “ o “ser divisible por”:
a) 9 y 12 b) 18 y 42 c) 8 y 15 d) 108 y 630
36. Calcula el m.c.m. de los siguientes pares de números:
a) 140 y 300 b) 693 y 1 485 c) 365 y 600 d) 315 y 1 845
1. ¿Cuál es el resultado de 20 + 15 3?
2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera ?
b) En el sistema de numeración decimal el valor de una cifra es independiente del lugar que ocupa.
c) Si multiplicamos dividendo y divisor por el mismo número distinto de cero, el cociente no varía.
d) El producto y la división de números naturales cumplen la propiedad conmutativa.
1 03 Potencias y raíces
Uno, elevado a cualquier exponente, es igual a 1.
an ∙ am = an + m
an : am =
35 : 33 =
(an )m = an ∙ m
23 x2
1 04 Numeros enteros
1 05 Fracciones
, un medio , dos tercios , dos cuartos
, tres quintos , siete décimos
A partir del valor 11 del denominador:
, ocho onceavos , seis veintitresavos
de pastel
= 4
= 1
2.2. Fracciones equivalentes
a) b) c)
Podemos simplificar, reducir, el resultado:
Conclusión: 7/5 es mayor que 5/4
1 06 Decimales
a) 0.87 b) 0.0701 c) 30.56 d) 17.03 e) 10.050
La relación que hemos alcanzado entre los números decimales y las fracciones nos permite situarlos en la recta numérica. Para representar un número decimal como 6.2 en primer lugar nos fijamos en su parte entera, 6, lo que nos informa de que 6.2 se en...
Si el número decimal tiene más de una cifra decimal, tendremos que realizar una subdivisión más exigente. El número decimal 3.76 tiene dos cifras decimales. Al ser su parte entera 3, se encuentra ubicado entre los números 3 y 4. La posición exacta la ...
Decidir si un número decimal es mayor o menor que otro es bastante sencillo. Si sus partes enteras son distintas, ellas ya determinan cuál es mayor.
13.66 es mayor que 11.4, pues el primero tiene parte entera 13 y el segundo 11.
Si tienen igual parte entera pasamos a mirar su primera cifra decimal, la de las decenas. Si son diferentes, ya podemos decidir.
7.25 es menor que 7.3, ya que tienen la misma parte entera y la primera cifra decimal de 7.3 es mayor que la primera cifra decimal de 7.25.
,34.24-2.7.=,342.4-27.=12.68148148....
2.3. Conversión de una expresión decimal periódica en fracción
2.3. Operaciones con expresiones decimales periódicas
1 07 Unidades medida
1 08 Figuras Planas
1 09 Longitudes
1 10 Proporciones
6 : 3 = 2 € el kilo
1 11 algebra
ECUACIONES de PRIMER Grado CON PARÉNTESIS. Una ecuación es una igualdad en la cual desconocemos uno de sus términos. Ese término que se desconoce se le llama incógnita. Resolver una ecuación es como jugar a ser detectives, porque es buscar qué valor t...
1 12 graficas
1 13 Estadistica
1 14 INDICE 1 DE ESO
