Dieses Lehrbuch enthält eine Einführung in die nichtlineare Funktionalanalysis. Die Themenauswahl vermittelt grundlegende Methoden und Techniken, die bei der Untersuchung von nichtlinearen elliptischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen Anwendung finden. Es geht insbesondere auf Fixpunktsätze, Differentiation und Integration in Banachräumen, die Theorie monotoner Operatoren und den Abbildungsgrad ein. Der Darstellung des Stoffes liegt die gegenseitige Beeinflussung von Theorie und Anwendungen zugrunde.
Kurze Einführungen am Kapitelanfang, illustrative Beispiele sowie die detaillierte Herleitung von Ergebnissen erleichtern das Verständnis. Eine Kurzzusammenfassung von wichtigen Resultaten aus der linearen Funktionalanalysis ist im Anhang zu finden und vervollständigt den Inhalt.
Das Buch richtet sich an Studierende mit abgeschlossener Grundausbildung in Analysis, linearer Algebra und linearer Funktionalanalysis und umfasst den Lehrstoff für eine vierstündige einsemestrige Vorlesung.
Für die 2. Auflage wurde insbesondere das Hauptkapitel zu monotonen Operatoren wesentlich überarbeitet. Es beinhaltet nun eine moderne Darstellung von Evolutionsproblemen mithilfe Bochner-pseudomonotoner Operatoren sowie eine in sich geschlossene Darstellung maximal monotoner Operatoren.
Author(s): Michael Růžička
Series: Masterclass
Edition: 2
Publisher: Springer
Year: 2020
Language: German
Pages: 226
Tags: Funktionalanalysis, Fixpunktsätze, monotone Operatoren, Abbildungsgrad
Vorwort
Vorwort zur ersten Auflage
Notation
Inhaltsverzeichnis
1 Fixpunktsätze
1.1 Der Banachsche Fixpunktsatz
1.1.1 Gewӧhnliche Differentialgleichungen
1.2 Die Fixpunktsätze von Brouwer und Schauder
1.2.1 Der Satz von Brouwer
1.2.2 Kompakte Operatoren
1.2.3 Der Satz von Schauder
1.2.4 Anwendung auf Differentialgleichungen
2 Integration und Differentiation in Banachräumen
2.1 Bochner–Integrale
2.1.1 Bochner–Räume
2.2 Differentiation von Funktionen mit Werten in Banachräumen
2.2.1 Satz über implizite Funktionen
3 Die Theorie monotoner Operatoren
3.1 Monotone Operatoren
3.1.1 Der Satz von Browder und Minty
3.1.2 Der Nemyckii–Operator
3.1.3 Quasilineare elliptische Gleichungen
3.2 Pseudomonotone Operatoren
3.2.1 Der Satz von Brezis
3.2.2 Quasilineare elliptische Gleichungen II
3.2.3 Die stationären Navier–Stokes–Gleichungen
3.2.4 Evolutionsprobleme
3.2.5 Evolutionsprobleme mit Bochner-pseudomonotonen Operatoren
3.3 Maximal monotone Operatoren
3.3.1 Subdifferentiale
3.3.2 Der Satz von Browder
3.3.3 Variationsungleichungen
4 Der Abbildungsgrad
4.1 Der Abbildungsgrad von Brouwer
4.1.1 Die Konstruktion des Abbildungsgrades von Brouwer
4.1.2 Technische Hilfsmittel
4.1.3 Erweiterung auf nichtreguläre Punkte und stetige Funktionen
4.1.4 Eigenschaften des Abbildungsgrades von Brouwer
4.2 Der Abbildungsgrad von Leray–Schauder
4.2.1 Abbildungsgrad für endlich-dimensionale Vektorräume
4.2.2 Konstruktion des Abbildungsgrades von Leray–Schauder
4.2.3 Eigenschaften des Abbildungsgrades von Leray–Schauder
4.2.4 Quasilineare elliptische Gleichungen III
A Appendix
A.1 Topologische Räume
A.2 Metrische Räume
A.3 Vektorräume
A.4 Banachräume
A.5 Hilberträume
A.6 Operatoren
A.7 Dualität in Banachräume
A.8 Schwache Topologie und schwache Konvergenzen
A.9 Konvexität und Glattheitseigenschaften der Norm
A.10 Wichtige Sätze aus der linearen Funktionalanalysis
A.11 Lebesgue–Maß und Lebesgue–Integral
A.12 Funktionenräume
A.12.1 Räume stetiger Funktionen
A.12.2 Lebesgue–Räume Lp(Ω)
A.12.3 Sobolev–Räume Wk,p(Ω)
Literaturverzeichnis
Index
