Potentialtheorie

Vorwort zum Band 1 Potentialtheorie
Grundlagen der Physikalischen und Mathematischen Geodäsie
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
1 Ausgewählte mathematische Elemente
1.1 Elemente der Vektorrechnung und Vektoranalysis
1.1.1 Felder
Skalarfeld
Vektorfeld
1.1.2 Differentialoperatoren
Richtungsableitung und Gradient
Divergenz und Rotation
Nabla-Operator, Nabla-Kalkül
1.1.3 Wichtige Anwendungen
Gradient von Potenzen des Ortsvektor-Betrages
Divergenz des Ortsvektors
Laplace-Gleichung und Laplacesches Vektorfeld
1.2 Rechtwinklig krummlinige Koordinaten
1.2.1 Grundbegriffe und Bezeichnungen
1.2.2 Differentialoperatoren in rechtwinklig krummlinigen Koordinaten
Gradient
Divergenz
Rotation
Laplace-Operator
1.2.3 Anwendungsbeispiele
1.3 Kurven-, Flächen-, Volumenintegrale
1.3.1 Bezeichnungen
1.3.2 Zusammenstellung: Kurvenintegrale
1.3.3 Zusammenstellung: Oberflächenintegrale
1.3.4 Zusammenstellung: Volumenintegral
1.4 Feldtheoretische Aspekte
1.4.1 Charakterisierung von Vektorfeldern
1.4.2 Globale Struktur von Vektorfelder
1.5 Harmonische Funktionen
2 Gravitationsfelder von Massenanordnungen
2.1 Gravitationsfeldstärke von Massenanordnungen
2.1.1 Gravitationsfelder im Außenraum gravitierender Massen
2.1.2 Gravitationsfelder im Innenraum gravitierender Massen
2.2 Beispiele zur Flächen- und Volumenanziehung
2.2.1 Gravitationsfeldstärke einer homogenen Kreisschicht
2.2.2 Gravitationsfeldstärke einer homogen belegten Kugeloberfläche
2.2.3 Gravitationsfeldstärke einer homogenen Kugelschale
3 Gravitationspotentiale von Massenanordnungen
3.1 Raummasse und einfache Schicht
3.2 Dipolbelegung: Potential einer Doppelschicht
3.3 Beispiele von Raum- und Schichtpotentialen
3.3.1 Gravitationspotential einer homogenen Kugeloberfläche
3.3.2 Gravitationspotential einer Kugeloberfläche mit Doppelschicht
3.3.3 Gravitationspotential einer homogenen Kugelschale
3.4 Eigenschaften der Schichtpotentiale und ihrer Ableitungen
3.4.1 Potential einer einfachen Schicht
3.4.2 Potential einer Doppelschicht
3.5 Poisson- und Laplace-Gleichung
3.5.1 Zweite Ableitungen eines Volumenpotentials außerhalb der Massen
3.5.2 Zweite Ableitungen eines Volumenpotentials innerhalb der Massen
3.6 Zusammenfassung
4 Integralsätze der Potentialtheorie
4.1 Der Gaußsche Integralsatz
4.1.1 Anschauliche Ableitung des Gaußschen Integralsatzes
4.1.2 Elementarer Beweis des Gaußschen Integralsatzes
4.1.3 Die Gaußsche Formel
4.2 Die Greenschen Integralformeln
4.2.1 Erste Greensche Integralformel
Erste Greensche Integralformel für den Innenraum
Erste Greensche Integralformel für den Außenraum
4.2.2 Zweite Greensche Integralformel
4.2.3 Dritte Greensche Integralformel
Dritte Greensche Integralformel für den Innenraum
Dritte Greensche Integralformel für den Außenraum
4.3 Anwendungen der Greenschen Integralformeln
4.3.1 Potential einer einfachen Schicht und einer Doppelschicht
4.3.2 Potential einer Doppelschicht mit konstanter Belegung
4.3.3 Theorem von Chasles
4.3.4 Stokessche Konstanten eines Körpers
4.3.5 Massenbestimmung der Erde
4.3.6 Die Greenschen Funktionen
Ausgangsformeln
Greensche Funktion 1. Art
Greensche Funktion 2. Art
5 Kugelfunktionen und Anwendungen
5.1 Definition der Kugelfunktionen
5.2 Lösung der Laplace-Gleichung
5.3 Quellendarstellung des Gravitationspotentials
5.4 Entwicklung einer Funktion nach Kugelflächenfunktionen
5.5 Direktes und inverses Problem
5.5.1 Zusammenfassung
5.5.2 Lösung einer 1. Randwertaufgabe
Lösungsweg
Eindeutigkeit der 1. Randwertaufgabe
5.6 Physikalische Interpretation der Potentialkoeffizienten
6 Diskussion der Kugelfunktionen
6.1 Legendresche Polynome
6.1.1 Definition der Legendreschen Polynome
6.1.2 Berechnung der Legendreschen Polynome
6.2 Zugeordnete Legendresche Funktionen
6.2.1 Definition der zugeordneten Legendreschen Funktionen
6.2.2 Berechnung der zugeordneten Legendreschen Funktionen
6.3 Kugelflächenfunktionen
6.3.1 Allgemeine Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen
6.3.2 Zonale, tesserale und sektorielle Kugelflächenfunktionen
6.3.2.1 Zonale Kugelflächenfunktionen
6.3.2.2 Tesserale Kugelflächenfunktionen
6.3.2.3 Sektorielle Kugelflächenfunktionen
6.3.3 Laplacesche Kugelflächenfunktionen
6.4 Räumliche Kugelfunktionen
6.4.1 Richtungsabhängigkeit der Kugelfunktionen
6.4.2 Räumliche Auflösung der Kugelflächenfunktionen
6.4.3 Radiale Abhängigkeit der Kugelfunktionen
7 Randwertaufgaben der Potentialtheorie
7.1 Allgemeine Bemerkungen zu den Randwertaufgaben
7.1.1 Aufgabenstellung
7.1.2 Einteilung der Randwertaufgaben nach dem Randwerttyp
7.2 Lösung der Randwertaufgaben für den Außenraum einer Kugel
7.2.1 Lösung der 1. Randwertaufgabe
Lösung mit Hilfe des Poissonschen Integrals
Lösung mit Hilfe von Kugelfunktionen
Eine alternative Ableitung des Poissonschen Integrals
7.2.2 Lösung der 2. Randwertaufgabe
Lösung mit Hilfe von Kugelfunktionen
Lösung mit Hilfe der Neumann-Funktion
7.2.3 Lösung der 3. Randwertaufgabe
Lösung mit Hilfe von Kugelfunktionen
Lösung mit Hilfe des Stokesschen Integrals
7.3 Lösung der Randwertaufgaben bei allgemeinen Randflächen
7.3.1 Aufgabenstellung, Überblick
7.3.2 Erste Randwertaufgabe bei beliebigem Rand
7.3.3 Dritte schiefachsige Randwertaufgabe bei beliebigem Rand
8 Alternative Kugelfunktionsdarstellungen
8.1 Reelle und komplexe Darstellungen
8.1.1 Nicht normierte reelle Kugelflächenfunktionen
8.1.2 Vollständig normierte reelle Kugelflächenfunktionen
8.1.3 Komplexe Kugelflächenfunktionen
8.1.4 Konjugiert komplexe Kugelflächenfunktionen
8.2 Transformationen
8.2.1 Transformation zwischen Legendreschen Funktionen
8.2.2 Transformation zwischen den Kugelflächenfunktionen
8.2.3 Transformation zwischen den Entwicklungskoeffizienten
9 Koordinatenverschiebungen
9.1 Endliche Drehungen des Koordinatensystems
9.1.1 Transformation der Kugelfunktionsentwicklung
9.1.2 Transformation der Potentialkoeffizienten
9.2 Endliche Translationen des Koordinatensystems
9.2.1 Transformation der Kugelfunktionsentwicklung
9.2.2 Transformation der Potentialkoeffizienten
9.3 Infinitesimale Verschiebungen des Koordinatensystems
9.3.1 Verschiebungsoperatoren: Translation und Rotation
9.3.2 Verschiebungsoperatoren in sphärischen Polarkoordinaten
9.4 Infinitesimale Drehungen des Koordinatensystems
9.4.1 Transformation der Kugelfunktionen
9.4.2 Transformation der Potentialkoeffizienten
9.5 Infinitesimale Translation des Koordinatensystems
9.5.1 Transformation der Kugelfunktionen
9.5.2 Transformation der Potentialkoeffizienten
10 Gravitationsfeldfunktionale in Kugelfunktionen
10.1 Reelle Darstellungen
10.1.1 Gravitationsfeldstärke
10.1.2 Gravitationstensor
10.2 Komplexe Darstellung
10.2.1 Gravitationsfeldstärke
10.2.2 Gravitationstensor
10.2.3 Potentielle Energie der Gravitationswechselwirkung
10.2.4 Drehmoment
10.2.5 Gezeitenpotential
10.2.6 Gezeitenkraft
10.3 Bemerkungen zur Anwendung auf das Erdsystem
Literatur (Auswahl)
Stichwortverzeichnis