【内容紹介】
紙と鉛筆だけで、誰でも必ず味合うことができる「沁みる」数学をどうぞ。
数学って「沁みる」ものです。
数式オンパレードのフーリエ級数・フーリエ変換ですが、覚悟をもって学んでいくと、「数学的テクニックを駆使する様」「それが導く結果の壮大さ」がジワジワと浸透してきて、大きな感動を得ることができます。
著者に4回描き直してもらい少しずつ理解が深まっていく中で、わかったという達成感をもっとも言い表すのは「沁みる」という言葉でした。そこで、その感動を伝えるために、そのまま書名に加えました。
苦労はしますが、誰もが必ず先達の知識と発想・テクニックを体感できます。そして、フーリエ級数・変換という壮大な世界が身体にジワジワと沁み込んできます。
ほかの参考書はいっさい不要です。文系出身で、数学に馴染みがなかった人であっても、この1冊だけで、フーリエ級数とフーリエ変換はもちろんのこと、そのために必要なテクニックである「関数の基本」「三角関数」「微分・積分」「指数・対数」「複素数」を、必ず身につけることができます。
ここで、フーリエ級数、フーリエ変換について説明すると、
フーリエ級数とは、複雑な周期関数や周期信号を、単純な形の周期性をもつサイン波、コサイン波の関数の(無限の)和によって表したもの。 この重ね合わせがフーリエ級数と呼ばれます。フーリエ級数は、フランスの数学者ジョゼフ・フーリエによって金属板の中での熱伝導に関する研究の中で導入されました。
一方、フーリエ変換とは、フーリエ積分を利用した、時間領域(波形)と周波数領域(波形)の変換公式。フーリエ変換を行うことにより、解析したい音・振動の波形が、どのような周波数と振幅を持つ波形の合成で成り立っているかを知ること(スペクトル分析)ができます。「すべての周期関数は三角関数の和で記述できる」というフーリエ級数を、周期を無限大と考えて拡張し、すべての関数に用いることができるようにしたものがフーリエ積分です。
理解した人だけに得られる数学の美しさ、壮大に広がる風景を、「フーリエ級数・フーリエ変換」で体感してください。紙と鉛筆だけで、誰でも必ず味合うことができる「沁みる」数学をどうぞ。
【目次】
序章 フーリエ級数・フーリエ変換とは
◎本書の目的
◎フーリエとは
◎フーリエ級数の誕生
◎波を解析するフーリエ級数・フーリエ変換
◎フーリエ解析の活躍
◎フーリエ級数の導出
第1章 関数
1 関数
◎関数とは
◎区間
◎座標平面
◎関数のグラフ
◎対称移動
◎平行移動
2 n 次関数
◎定数関数
◎1次関数
◎2次関数
◎3次以上の関数
3 分数関数
◎y = k/x のグラフ
◎y = k/x のグラフの特徴
◎y = k/x−p + p のグラフ
4 無理関数
◎y = √ax,y =− √ax のグラフ
◎y= √a(x−p) + q のグラフ
5 絶対値を含む関数
6 偶関数と奇関数
◎y =xn でn が偶数の場合と奇数の場合
◎偶関数と奇関数のかけ算
7 逆関数と合成関数
◎逆関数
◎合成関数
第2章 三角関数
1 三角関数
◎一般角
◎第k 象限の角
◎三角関数
◎三角関数の正負
◎三角関数の値を求める
2 sin、cosの性質
◎弧度法
◎sin と cos の相互関係
◎sin、cosの性質
3 y = sin x、y = cos xのグラフ
◎y=sin xのグラフ
◎y = cos x のグラフ
◎y = sin x、y = cos x のグラフの特徴
◎振幅を変える
◎周期を変える
◎波をずらす
◎波の変形
4 加法定理
◎加法定理
◎2倍角の公式
◎足し算をかけ算へ
◎かけ算を足し算へ
◎三角関数の合成
第3章 微分・積分
1 関数の極限
◎関数の極限が有限
◎関数の極限が無限
◎片側からの極限
◎│x│が無限に大きくなるときの関数の極限
◎関数の連続性
◎区間内での関数の連続
2 微分
◎微分係数と接線
◎導関数
◎微分可能
3 微分の計算
◎xnの微分
◎微分の性質
◎変数が x、y でない場合の導関数
◎積の微分法
◎商の微分法
◎合成関数の微分
4 sin x、cos xの微分
◎sin x の微分
◎cos x の微分
5 高次導関数
◎y = xn を続けて微分する
◎y = sin x を続けて微分する
◎y = cos x を続けて微分する
6 ベキ級数展開
◎和を表す記号Σ
◎ベキ級数と無限級数
◎関数を定数と無限個の xn の項の和で表す
◎ sin x のベキ級数展開
7 不定積分
◎不定積分とは
◎不定積分の線形性
◎不定積分と面積
8 定積分
◎区分求積法
◎定積分とは
◎定積分の線形性
◎定積分の性質
◎2つの曲線ではさまれた図形の面積
9 積分の計算
◎偶関数、奇関数の定積分
◎置換積分法
◎部分積分法
第4章 フーリエ級数
1 滑らかな周期2πの周期関数のフーリエ級数
◎周期 2πの周期関数のフーリエ級数の求め方
◎sin・cos の積分公式の証明
◎滑らかな周期2πの周期関数のフーリエ級数
◎滑らかな周期関数のフーリエ級数の具体例
2 区分的に滑らかな周期2πの周期関数のフーリエ級数
◎区分的に連続
◎区分的に滑らか
◎区分的に滑らかな関数の広義積分
◎区分的に滑らかな周期 2πの周期関数のフーリエ級数
◎フーリエ余弦級数、フーリエ正弦級数
3 区分的に滑らかな周期2Lの周期関数のフーリエ級数
◎区分的に滑らかな周期2Lの周期関数のフーリエ級数
第5章 指数関数と対数関数
1 指数の拡張
◎0や負の整数の指数
◎分数の指数
◎無理数の指数
2 指数関数
◎指数関数のグラフ
◎指数関数の性質
3 対数
◎対数を求める
◎対数の性質
◎対数の変換公式
4 対数関数
◎対数関数のグラフ
◎対数関数の性質
5 指数関数・対数関数の微分
◎対数関数の微分
◎指数関数の微分
◎指数関数のベキ級数
6 y = xp の微分
7 指数関数・対数関数の積分
◎不定積分
◎定積分
8 関数y = xpの積分
◎関数y = xp の不定積分
◎関数y = xp の定積分
第6章 複素フーリエ級数
1 複素数
◎虚数の誕生
◎複素数の相等
◎複素数の計算
◎虚数と実数の違い
◎負の数の平方根
2 複素数平面
◎複素数と平面上の点は1対1に対応する
◎共役複素数の性質
◎複素数の絶対値
◎複素平面上の距離
3 オイラーの公式
◎e iとは
◎ez の指数法則
◎オイラーの公式
◎e ix の微分・積分
4 区分的に滑らかな周期2πの周期関数の複素フーリエ級数
◎周期2πの複素フーリエ級数
◎ノコギリ波の複素フーリエ級数
5 区分的に滑らかな周期 2Lの周期関数の複素フーリエ級数
◎方形波の複素フーリエ級数
第7章 フーリエ変換
1 広義積分
◎半開区間 a ≦ x ◎半開区間 a ≦ x、x ≦ aでの積分
◎開区間 −∞ 2 フーリエの積分公式
◎フーリエの積分公式の導出
◎フーリエの積分公式が成り立つための条件
3 フーリエ変換とフーリエ逆変換
◎指数関数のフーリエ変換
4 フーリエ係数、フーリエ変換が表すもの
◎複素フーリエ係数
◎フーリエ変換
