Equations aux dérivées partielles

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CHAPITRE 1. E.D.P. DU PREMIER ORDRE
Première partie : étude du système dx/P=dy/Q=dz/R
I. DÉFINITIONS
II. INTÉGRALES PREMIÈRES
II.1. Définitions
II.2. Fonctions indépendantes
II.3. Résolution de S
Seconde partie : E.D.P. linéaires du premier ordre
I. ETUDE DE f(x,y,z) ∂z/∂x + g(x,y,z) ∂z/∂y = h(x,y,z)
II. CAS PARTICULIER f(x,y) ∂z/∂x + g(x,y) ∂z/∂y = 0
III. PROBLEME DE CAUCHY
111.1. Courbes caractéristiques, interprétation géométrique
III.2. Résolution du problème de Cauchy
Troisième partie: E.D.P. non linéaires du premier ordre
I. ENVELOPPES DE SURFACE
I.1. Familles à un paramètre
I.2. Familles a deux paramètres
I.3. E.D.P. associée à une famille à deux paramètres
II. ETUDE DE A(x,y)dx + B(x,y)dy = 0
II.1. Définitions
II.2. Cas particulier : ∂A/∂y = ∂B/∂x
II.3. Cas général
III. ETUDE DE A(x,y,z)dx + B(x,y,z)dy + C(x,y,z)dz = 0
IV. RESOLUTION DE G(x,y,z,∂z/∂x,∂z/∂y) = 0
V. PROBLEME DE CAUCHY
EXERCICES
CHAPITRE II. GENERALITES
I. CONDITIONS AU BORD, CONDITIONS AUX LIMITES
II. PRINCIPE DE SUPERPOSITION DANS LES EQUATIONS LINEAIRES
II.l. Equations linéaires
II.2. Principe de superposition
II.3. Principe de superposition et conditions au bord
III. UTILISATION DE TRANSFORMATIONS INTEGRALES
III.l. Utilisation de la transformée de Laplace
III.2. Utilisation de la transformée de Fourier
FORMULAIRE SUR LES TRANSFORMEES DE LAPLACE ET FOURIER
EXERCICES
CHAPITRE III. E.D.P. QUASI LINEAIRES DU SECOND ORDRE, CARACTERISTIQUES, CLASSIFICATION, FORMES STANDARD
INTRODUCTION
Première partie : Caractéristiques
I. PROBLEME DE CAUCHY
I.1. Caractéristiques
I.2. Problème de Cauchy
II. CLASSIFICATION
Seconde partie: Réduction à la forme standard
I. CHANGEMENTS DE VARIABLES
II. FORMES STANDARD
II.1. Equations hyperboliques
II.2. Equations paraboliques
II.3. Equations elliptiques
III. EQUATIONS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS
EXERCICES
CHAPITRE IV. METHODE DE SEPARATION DES VARIABLES
INTRODUCTION : Principe de la méthode de séparation des variables
Première partie: Opérateurs linéaires dans les espaces de Hilbert
I. ESPACE DE HILBERT
I.1. Produit scalaire et norme
I.2. Convergence et espace de Hilbert
II. ESPACES DE FONCTIONS DE CARRE INTEGRABLE
II.1. Espace L²(a,b)
II.2. Espace L²_σ (a,b)
III. BASES D'UN ESPACE DE HILBERT
III.1. Bases, approximation des moindres carrés
III.2. Séries de Fourier
IV. VALEURS PROPRES DES OPERATEURS LINEAIRES
Seconde partie: Problème de Sturm-Liouville et fonctions spéciales
I. PROBLEME REGULIER DE STURM-LIOUVILLE
II. PROBLEME PERIODIQUE DE STURM-LIOUVILLE
III. QUELQUES PROBLEMES SINGULIERS: FONCTIONS SPECIALES
III.1. Polynômes de Legendre, harmoniques sphériques
III.2. Polynômes d'Hermite et de Laguerre
III.3. Fonctions de Bessel
III.4. Transformée de Hankel
Troisième partie: Méthode de séparation des variables
I. EXPOSE DE LA METHODE
II. DERIVATION DES SERIES DE FONCTIONS DE 2 VARIABLES
III. ETUDE D'UN EXEMPLE
IV. SOLUTIONS APPROCHEES
V. SERIES DE FOURIER MULTIPLES
EXERCICES
CHAPITRE V. EQUATIONS HYPERBOLIQUES, EQUATIONS DES ONDES
Première partie : Equations du premier ordre
I. ∂u/∂t + ∂u/∂x = 0
I.l. Solutions générales et problème de Cauchy
I.2. Propagation des ondes
II.∂u₁/∂t + ∂u₁/∂x = 0, ∂u₂/∂t + ∂u₂/∂x = 0
II.1. Etude générale
II.2. Equations de l'acoustique
II.3. Equations de Maxwell
III. EQUATIONS RESOLUBLES A COEFFICIENTS CONSTANTS
Seconde partie : Equations des ondes
I. SOLUTIONS FAIBLES
II. PROPAGATION DES ONDES
II.l. Formule du parallèlogramme
II.2. Domaines d'influence, de dépendance, de détermination
III. EQUATION DES ONDES DANS R
III.1. Formule de D'Alembert
lII.2. Exemples
IV. EQUATION DES ONDES DANS R^+
IV.l. Extrémités fixes, ondes réfléchies
IV.2. Extrémités libres
V. EQUATION DES ONDES SUR UN INTERVALLE BORNE
V.l. Réflexion des ondes
V.2. Séparation des variables
V.3. Solutions faibles
Troisième partie : Equation des ondes avec second membre
I. METHODE DE RIEMANN
I.1. Formule de Green-Riemann
I.2. Equation avec second membre dans R
I.3. Méthode de Riemann, équation des télégraphistes
II. DONNEES SUR LES CARACTERISTIQUES
II.1. Données sur deux caractéristiques : Pb de Goursat
II.2. Données sur une caractéristique
III. EQUATION AVEC SECOND MEMBRE SUR UN INTERVALLE BORNE : SEPARATION DES VARIABLES
Quatrième partie: Equation des ondes dans R² ou R³
I. RAPPEL DE GEOMETRIE
II. EQUATION DES ONDES DANS R³
II.l. Formule de Kirchhoff
II.2. Principe d'Huyghens
II.3. Ondes sphériques et ondes planes
II.4. Potentiels retardés: équation avec second membre
III. EQUATIONS DES ONDES DANS R², FORMULE DE POISSON
IV. EQUATIONS DES ONDES DANS DES DOMAINES BORNES : SEPARATION DES VARIABLES
IV.l. Equation des ondes dans un parallèlépipède
IV.2. Vibrations d'une membrane circulaire
Cinquième partie : Energie et unicité
EXERCICES
CHAPITRE VI. EQUATION DE LA CHALEUR
Première partie: Généralités
I. PRINCIPE DU MAXIMUM
II. PROBLEMES DE VALEUR INITIALE (A)
II.1. Equation de la chaleur sur R
II.2. Equation avec second membre sur R
II.3. Equation de la chaleur sur R^+
Seconde partie: Semi-groupe de la chaleur
I. SOLUTION FONDAMENTALE
I.1. Définition
I.2. Solution fondamentale et théorie des distributions
II. PROBLEMES DE VALEUR INITIALE (B)
II.1. Problème sur R
II.2. Unicité
II.3. Un problème mal posé
III. SEMI-GROUPE DE LA CHALEUR
III.1. Définition
III.2. Comportement des solutions
IV. PROBLEMES DE VALEUR INITIALE DANS R² OU R³
Troisième partie : Séparation des variables
I. ETUDE DE ∂u/∂t - ∂u²/∂x² = 0 pour 0 <= x <= l
I.1. Problème régulier élémentaire
I.2. Autre problème
I.3. Autre problème
I.4. Autre problème
I.5. Utilisation de la transformée de Laplace
II. RESOLUTION D'UN PROBLEME EN COORDONNEES CYLINDRIQUES
EXERCICES
CHAPITRE VII. EQUATION DE LAPLACE, FONCTIONS HARMONIQUES
INTRODUCTION
Première partie : Fonctions harmoniques
I. FORMULES DE GREEN
I.1. Formule d'Ostrogradski-Gauss
I.2. Dérivée dans une direction
I.3. Formules de Green
I.4. Lemme de Green
II. PROPRIETES DES FONCTIONS HARMONIQUES
II.1. Théorème de la moyenne
II.2. Principe du maximum
II.3. Régularité des fonctions harmoniques
III. PROBLEMES FRONTIERES
III.1. Problème de Dirichlet
III.2. Problème de Neumann
III.3. Problème mixte
Seconde partie: Problèmes frontières dans R²
I. PROBLEMES DE DIRICHLET RELATIFS A UN DISQUE
I.1. Donnée frontière de classe C²
1.2. Donnée frontière continue : noyau de Poisson
1.3. Donnée frontière discontinue
1.4. Problème extérieur
II. AUTRES PROBLEMES DANS DES DOMAINES BORNES
II.1. Problème de Dirichlet dans un rectangle
II.2. Un contre exemple (équation d'Helmholtz)
II.3. Problème de Neumann pour un disque
III. DOMAINES A FRONTIERE NON BORNEE
III.1. Noyau de Poisson du demi-plan y > 0
III.2. Donnée frontière discontinue
III.3. Mise en garde et compléments
III.4. Problème de Neumann dans le demi-plan
Troisième partie : Problèmes frontières dans R³
1. PROBLEME DE DIRICHLET POUR UNE SPHERE, HARMONIQUES SPHERIQUES
II. PROBLEME DE DIRICHLET POUR UN CYLINDRE
Quatrième partie Fonctions de Green
EXERCICES
INDEX