Cours de mathématiques du premier cycle, Première année

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Introduction
ALGÈBRE.
CHAPITRE 1. ENSEMBLES.
1.1. Appartenance
1.2. Inclusion
1.3. Opérations élémentaires
1.4. Propriétés des opérations élémentaires
1.5. Produit d'ensembles
1.6. Fonctions
1.7. Composition des applications
1.8. Applications injectives, surjectives, bijectives
1.9. Image directe, image réciproque
1.10. Familles
1.11. Relations d'équivalence
1.12. Décomposition canonique d'une application
1.13. Relations d'ordre
1.14. Majorant, plus grand élément, borne supérieure
1.15. Analyse combinatoire
1.16. Équipotence des ensembles
1.17. Opérations logiques élémentaires
1.18. Quantificateurs
CHAPITRE II. LOIS DE COMPOSITION.
2.1. Définition
2.2. Lois associatives
2.3. Lois commutatives
2.4. Élément neutre
2.5. Éléments inverses
2.6. Homomorphismes
CHAPITRE III. GROUPES.
3. 1. Définition
3.2. Sous-groupes d'un groupe
3.3. Classes suivant un sous-groupe
3.4. Groupe quotient d'un groupe commutatif
3.5. Homomorphismes de groupes
3.6. Décomposition canonique d'un homomorphisme
3.7. Groupes opérant dans un ensemble
CHAPITRE IV. ANNEAUX.
4.1. Définition
4.2. Sous-anneaux, idéaux
4.3. Anneau quotient d'un anneau commutatif
4.4. Homomorphismes d'anneaux
4.5. Corps
4.6. Anneaux intègres
4.7. Construction de l'anneau Z
CHAPITRE V. POLYNÔMES A UNE VARIABLE.
5.1. Définition
5.2. Degré d'un polynôme
5.3. Division des polynômes suivant les puissances décroissantes
5.4. Divisibilité des polynômes
5.5. Polynômes premiers entre eux
5.6. Multiples communs à deux polynômes
5.7. Polynômes irréductibles
5.8. Fonctions polynômes
5.9. Racines d'un polynôme
5.10. Formule d'interpolation de Lagrange
5.11. Cas du corps C
5.12. Cas du corps R
5.13. Dérivée d'un polynôme
5.14. Division suivant les puissances croissantes
5.15. Nombres complexes
CHAPITRE VI. FRACTIONS RATIONNELLES A UNE VARIABLE.
6.1. Définition
6.2. Partie entière d'une fraction rationnelle
6.3. Décomposition en éléments simples
6.4. Cas du corps C
6.5. Cas du corps R
CHAPITRE VII. POLYNÔMES A PLUSIEURS VARIABLES.
7.1. Définition
7.2. Relation avec les polynômes à une variable
7.3. Degrés
7.4. Fonctions polynômes
7.5. Autre définition des polynômes homogènes
7.6. Dérivées
CHAPITRE VIII. ESPACES VECTORIELS.
8.1. Définition
8.2. Sous-espaces vectoriels
8.3. Espaces vectoriels quotients
8.4. Applications linéaires
8.5. Sous-espaces vectoriels supplémentaires
8.6. Produit d'espaces vectoriels
8.7. Indépendance linéaire
8.8. Bases d'un espace vectoriel
8.9. Existence de bases
8.10. Dimension
8.11. Rang d'une application linéaire
8.12. L'espace vectoriel L(E,F)
8.13. Dual d'un espace vectoriel
8.14. Formes bilinéaires
8.15. Formes bilinéaires non dégénérées
8.16. Bases duales
8.17. Orthogonalité
8.18. Transposition
8.19. Formes multilinéaires
CHAPITRE IX. MATRICES.
9.1. Définition
9.2. Matrice d'une application linéaire
9.3. Opérations sur les matrices
9.4. Matrices carrées
9.5. Matrices lignes, matrices colonnes
9.6. Transposée d'une matrice
9.7. Matrices inversib1es
9.8. Changement de base
9.9. Matrices équivalentes
9.10. Matrices semblables
9.11. Matrice d'une forme bilinéaire
CHAPITRE X. DÉTERMINANTS.
10.1. Signature d'une permutation
10.2. Formes multilinéaires alternées
10.3. Formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n
10.4. Déterminant d'un système de vecteurs par rapport à une base
10.5. Déterminant d'une application linéaire de E dans E
10.6. Déterminant d'une matrice carrée
10.7. Calcul d'un déterminant par blocs
10.8. Développement d'un déterminant suivant les éléments d'une ligne ou d'une colonne
10.9. Critère pour que des vecteurs soient linéairement indépendants
10.10. Calcul du rang d'une matrice
10.11. Orientation des espaces vectoriels réels
10.12. Produit mixte dans l'espace ordinaire orienté
10.13. Produit vectoriel dans l'espace ordinaire orienté
CHAPITRE XI. SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES.
11.1. Définition
11.2. Systèmes de Cramer
11.3. Systèmes linéaires quelconques
CHAPITRE XII. NOTIONS AFFINES.
12.1. Sous-espaces affines
12.2. Équations d'un sous-espace affine
12.3. Représentation paramétrique d'un sous-espace affine
12.4. Applications affines
12.5. Barycentre
12.6. Ensembles convexes
12.7. Espaces affines
ANALYSE.
CHAPITRE XIII. CONSTRUCTION DES NOMBRES RÉELS.
13.1. Entiers rationnels, nombres rationnels
13.2. Suites de Cauchy, équivalence des suites de Cauchy
13.3. Addition des nombres réels
13.4. Multiplication des nombres réels
13.5. Identification des nombres rationnels à des nombres réels
13.6. Comparaison des nombres réels
CHAPITRE XIV. LIMITES.
14.1. Limite d'une suite de nombres
14.2. Suites de Cauchy
14.3. Suites monotones
14.4. Limites infinies
14.5. Limite d'une fonction
14.6. Équivalence
14.7. Partie principale d'un infiniment petit
14.8. Les notations o et O
14.9. Fonctions continues
14.10. Fonctions uniformément continues
14.11. Fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone
14.12. Application : fonctions réciproques des fonctions circulaires
14.13. Limite simple, limite uniforme d'une suite de fonctions
CHAPITRE XV. DÉRIVÉES.
15.1. Définition
15.2. Extensions de la notion de dérivée
15.3. Dérivées successives
15.4. Règles de calcul
15.5. Dérivées des fonctions réciproques des fonctions circulaires
15.6. Formule de Leibniz
15.7. Théorème des accroissements finis
15.8. Fonctions convexes
CHAPITRE XVI. INTÉGRALES.
16.1. Intégrale des fonctions en escalier
16.2. Intégrale des fonctions continues
16.3. Premières propriétés de l'intégrale
16.4. Propriétés relatives à l'intervalle d'intégration
16.5. Primitives
16.6. Intégration par parties
16.7. Changemcnt de variables
16.8. Application : formule de Wallis
16.9. Valeur moyenne d'une fonction
CHAPITRE XVII. FONCTION LOGARITHMIQUE ET FONCTIONS ASSOCIÉES.
17.1. Définition de la fonction logarithmique
17.2. Logarithme d'un produit
17.3. Fin de l'étude des variations de Log x
17.4. Logarithmes de base a
17.5. Fonction exponentielle
17.6. Généralisation
17.7. L'exponentielle définie comme limite
17.8. Fonctions hyperboliques
17.9. Fonctions réciproques des fonctions hyperboliques
17.10. Fonction y = x^n
17.11. Variations de x^n
17.12. Ordres de croissance
CHAPITRE XVIII. CALCUL DES PRIMITIVES.
18.1. Primitives usuelles
18.2. Intégration des fractions rationnelles
18.3. Primitives se ramenant à des primitives de fractions rationnelles. 1
18.4. Primitives se ramenant à des primitives de fractions rationnelles. II
18.5. Primitives se ramenant à des primitives de fractions rationnelles. III
18.6. Primitives se ramenant à des primitives de fractions rationnelles. IV
CHAPITRE XIX. FORMULE DE TAYLOR.
19.1. Démonstration de la formule de Taylor
19.2. Recherche de la partie principale d'un infiniment petit
19.3. Allure d'un graphe au voisinage d'un point
CHAPITRE XX. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS.
20.1. Définition
20.2. Développements limités usuels
20.3. Opérations sur les développements limités
20.4. Parties principales d'infiniment petits usuels
20.5. Généralisations des développements limités
20.6. Applications des développen1ents limités à la recherche de limites
CHAPITRE XXI. NORMES. DISTANCES.
21.1. Normes
21.2. Distances
21.3. Limite d'une suite de points dans un espace métrique
21.4. Limite d'une application d'un espace métrique dans un autre
21.5. Applications continues d'un espace métrique dans un autre
21.6. Ensembles ouverts, ensembles fermés
CHAPITRE XXII. DÉRIVÉES DES FONCTIONS VECTORIELLES.
22.1. Définition
22.2. Dérivées successives
22.3. Règles de calcul
22.4. Formule de Taylor-Young
CHAPITRE XXIII. DÉRIVÉES PARTIELLES.
23.1. Définition
23.2. Dérivée d'une fonction composée
23.3. Dérivées partiel1es secondes
23.4. Dérivées partielles successives
23.5. Dérivées successives d'une fonction composée
23.6. Formule de Taylor
CHAPITRE XXIV. DIFFÉRENTIELLES.
24.1. Différentielle d'une fonction en un point
24.2. Différentielle d'une fonction
24.3. Différentielle d'une fonction composée
24.4. Calcul des différentielles
24.5. Fonctions stationnaires
24.6. Gradient d'une fonction
CHAPITRE XXV. FONCTIONS IMPLICITES.
25.1. Définition et existence
25.2. Première généralisation
25.3. Deuxième généralisation
CHAPITRE XXVI. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.
26.1. Définition
26.2. Interprétation géométrique
26.3. Théorème général d'existence et d'unicité
26.4. Équations à variables séparées
26.5. Équations linéaires
26.6. Application à un problème géométrique
GÉOMÉTRIE.
CHAPITRE XXVII. COURBES PARAMÉTRÉES DANS LE PLAN.
27.1. Définition
27.2. Tangente
27.3. Forme au voisinage d'un point
27.4. Branches infinies
27.5. Concavité
27.6. Construction des courbes paramétrées planes
CHAPITRE XXVIII. COURBES PARAMÉTRÉES DANS L'ESPACE.
28.1. Définition
28.2. Tangente
28.3. Plan osculateur
28.4. Forme au voisinage d'un point
CHAPITRE XXIX. SURFACES PARAMÉTRÉES DANS L'ESPACE.
29.1. Définition
29.2. Exemples de surfaces paramétrées
29.3. Plan tangent
CHAPITRE XXX. ÉQUATIONS DES COURBES ET DES SURFACES.
30.1. Équation d'une courbe dans le plan
30.2. Équation d'une surface dans l'espace
30.3. Équations d'une courbe dans l'espace
30.4. Exemples de recherche d'équations de surface
30.5. Ellipsoïde
30.6. HyperboIoïde à une nappe
30.7. Hyperboloïde à deux nappes
30.8. Paraboloïde elliptique
30.9. Paraboloïde hyperbolique
CHAPITRE XXXI. COORDONNÉES POLAIRES.
31.1. Définition
31.2. Équation polaire d'une courbe
31.3. Tangente à une courbe définie paramétriquernent en coordonnées polaires
31.4. Concavité d'une courbe définie paramétriquement en coordonnées polaires
31.5. Constructions de courbes définies par une équation r = f(θ)
31.6. Coordonnées cylindriques
31.7. Coordonnées sphériques
EXERCICES
QUELQUES RÉPONSES ET SUGGESTIONS
INDEX DES NOTATIONS
INDEX TERMINOLOGIQUE