Geometria differenziale

Questo secondo volume della "Analisi vettoriale generale" contiene le applicazioni geometriche del calcolo vettoriale ed omografico, e precisamente quella parte che è detta geometria differenziale metrica e proiettiva delle superficie e delle varietà spaziali (...). Oggidì seguendo il BIANCHI, geniale precursore dell'opera di GAUSS, di LAMÈ, di BELTRAMI e di RIEMANN, la teoria delle superficie e degli spazi curvi è fondata sullo studio delle forme differenziali quadratiche e sull'ingegnoso calcolo assoluto di RICCI e LEVI-CIVITA che a quello si connette. Ne è nato un algoritmo pesante e complicato, che conduce, con calcoli lunghi e per vie artificiose, a formule poco espressive, ed i tediosi sviluppi sono spesso intricati da problemi fittizi non inerenti alle questioni geometriche in esame. - Tutto ciò è conseguenza dell'uso sistematico delle coordinate; uso che, nato dai primi successi del metodo cartesiano, s'impose poi in tutti i rami della geometria e della fisica teoretica, perché non s'intravvedeva allora la possibilità di avere un calcolo che operasse direttamente sugli enti geometrici e fisici. Ma oggi un vero calcolo assoluto esiste, e si trova esposto nel primo volume di questa collezione e nella parte Il di questo volume. La sua applicazione alle varie teorie può ora farsi nella maniera più semplice e completa. - E questo diventa molto importante oggidì, in cui la fisica si va, come suol dirsi, geometrizzando; giacché le più elevate dottrine geometriche sono entrate a far parte del bagaglio culturale di molti studiosi che non fanno professione di puri geometri, ai quali è necessario uno strumento matematico agile, semplice e generale ad un tempo, atto alla sintesi come alla analisi, che permetta loro economia di tempo e di pensiero.