[Первая часть пособия состоит из 3-х "подчастей": Ч.ч.: 1-1, 1-2 и 1-3].
Учебное пособие составлено по темам: "Введение в анализ", "Предел и непрерывность вещественных функций вещественных переменных".
Пособие содержит основные определения и понятия курса математического анализа по вышеперечисленным темам. Сформулированы вопросы курса, приведены доказательства основных утверждений. В пособии содержится сборник задач, часть которых приведена с решениями. Подбор задач полностью обеспечивает потребности практических занятий и домашних заданий. Пособие может быть использовано для организации и усиления самостоятельной и творческой деятельности студентов первых курсов математических факультетов педуниверситетов. С успехом может быть использовано для дистантной формы обучения, благодаря большому количеству решенных в пособии задач.Содержание.Введение.
Множества и действия над ними.
Операции над множествами. Декартово произведение множеств. Понятие верхнего, нижнего предела последовательности множеств.
Бинарные отношения. Бинарные соответствия. Функции.
Понятие образа, прообраза множества. Параметрически заданные функции. Неявно заданные функции, обратные функции.
Примеры функциональных зависимостей.
Линейные, квадратичные функции. Область.
Определения функций. множество значений функции. Композиция функций.
Четные, нечетные функции.
Четные, нечетные продолжения функций.
Периодические функции.Монотонные функции.
Ограниченные, неограниченные функции.
Аксиоматические теории множества и вещественных чисел.
Понятие верхней, нижней грани множества. Характеристическое свойство верхней, нижней грани множества.
Важнейшие классы действительных чисел.
Определение множества натуральных чисел. Принцип математической индукции. Метод математической индукции. Неравенство Бернулли. Формула бинома Ньютона. Формула включений и исключений.
Целые числа. Рациональные и иррациональные числа.
Существование иррациональных чисел. Принцип Архимеда. Свойство плотности Q в R. Целая часть числа. Дробная часть числа. Бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби.
Сравнение вещественных чисел.
Геометрическая интерпретация множества действительных чисел.
Модуль вещественного числа. Решение уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком модуля.
Топология вещественной прямой.
Понятие окрестности точки в R. Определение открытого и замкнутого множества в R. Свойства открытых и замкнутых множеств. Понятие предельной точки множества. Замыкание множеств.
внутренние, внешние точки множества. Понятие границы множества. Изолированные точки множеств. Нигде не плотные множества. Всюду плотные множества. Понятие предела числовой последовательности. Характеризация предельных точек множества в терминах предела последовательности. Покрытия множества. Открытые покрытия. Определение компактного множества. Лемма Кантора о стягивающихся отрезках. Компактность отрезка [a, b]. Канторово совершенное множество. Счетные, несчетные множества. Несчетность отрезка [0,1].Множество С комплексных чисел.
Операции над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Понятие корня n-ой степени из комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая форма комплексного числа.
Числовые последовательности.
Основные свойства числовых последовательностей. Рекуррентное задание последовательности.
Монотонные последовательности. Ограниченные, неограниченные последовательности.
Понятие предела числовой последовательности.
Алгебраические свойства последовательностей, имеющих числовой предел. Существование конечного предела монотонно возрастающей (убывающей), ограниченной сверху (снизу) последовательности. Предельный переход в неравенствах. Понятие последовательности Коши.
Критерий Коши существования предела последовательности. Иррациональность числа е. Понятие нижнего, верхнего предела последовательности. Понятие подпоследовательности. Связь между пределом последовательности и пределом любой ее подпоследовательности. Теорема Штольца. Некоторые применения теоремы Штольца. Исследование последовательностей на сходимость.
Понятие частичного предела последовательности. Вычисление пределов последовательностей по определению и на основе теорем о пределах. Бесконечно большие, бесконечно малые последовательности.
Предел функции вещественной переменной.
Окрестности точек из пополненной вещественной оси R ̅. Отделимость множества R, R ̅. Фундаментальные системы окрестностей точек в R, R ̅. Определение предела функции в точке на языке окрестностей. Частные случаи определения предела функции. Единственность предела функции в точке. Алгебраические свойства предела функции. Порядковые свойства предела функции. Теорема о связи между пределом функции и пределом последовательности. Сужение функции на множество. Односторонние пределы функции. Теорема о пределе сложной функции. Определение непрерывной функции в точке. Теорема о непрерывности сложной функции. Классификация точек разрыва. Бесконечно малые и бесконечно большие. Связь между ними. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Корень n-ой степени из положительного числа. Локальные свойства непрерывных функций. Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке. Условие существования и непрерывности обратной функции. Схема определения показательной функции. Свойства показательной функции и график. Логарифмическая функция и ее основные свойства.
Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции. Замечательные пределы. Вычисление пределов функций по определению и на основе теорем о пределе. Техника вычисления пределов функций.
О символика.
Эквивалентные функции. Основные свойства О-символов. Нахождение главных частей функций. Вычисление пределов функций с помощью основных асимптотических соотношений. Критерий Коши существования пределов функции. Наклонные асимптоты.
Непрерывные функции и их основные свойства.
Исследование функций на непрерывность.
Равномерно непрерывные функции и их основные свойства.
Связные множества в R ̅.
Свойства функций, непрерывных на связных множествах.
Литература.
