Второй том «Курса...» посвящен теории интеграла от функции одной вещественной переменной и теории рядов и предназначен, прежде всего, для студентов первых двух курсов негуманитарных вузов. Исключительно подробное, полное и снабженное многочисленными примерами изложение включает такие классические разделы анализа, как неопределенный интеграл и методы его вычисления, определенный интеграл Римана, несобственный интеграл, числовые и функциональные ряды, интегралы, зависящие от параметра, и др. Подробно излагаются и некоторые мало представленные или совсем не представленные в элементарных учебниках темы: бесконечные произведения, формула суммирования Эйлера-Маклорена и ее приложения, асимптотические разложения, теория суммирования и приближенные вычисления с помощью расходящихся рядов и др. Являясь одним из лучших систематических учебников по интегральному исчислению и, одновременно, уникальной коллекцией конкретных фактов, связанных с рядами и интегралами, данная книга, безусловно, будет полезна как учащимся, так и преподавателям высшей математики, а также специалистам различных профилей, использующим математику в своей работе, в том числе, математикам, физикам и инженерам.
Первое издание вышло в 1948 г.
Author(s): Фихтенгольц Г.М.
Edition: 8-е
Publisher: ФИЗМАТЛИТ
Year: 2003
Language: Russian
Pages: 864
Оглавление......Page 3
263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла)......Page 11
264. Интеграл и задача об определении площади......Page 15
265. Таблица основных интегралов......Page 18
266. Простейшие правила интегрирования......Page 20
267. Примеры......Page 22
268. Интегрирование путем замены переменной......Page 25
269. Примеры......Page 29
270. Интегрирование по частям......Page 33
271. Примеры......Page 35
272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде......Page 39
273. Простые дроби и их интегрирование......Page 40
274. Разложение правильных дробей на простые......Page 42
275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей......Page 46
276. Выделение рациональной части интеграла......Page 48
277. Примеры......Page 52
278. Интегрирование выражений вида. Примеры......Page 55
279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры......Page 57
280. Формулы приведения......Page 59
281. Интегрирование выражений вида. Подстановки Эйлера......Page 62
282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок......Page 65
283. Примеры......Page 66
284. Другие приемы вычисления......Page 72
285. Примеры......Page 79
286. Интегрирование дифференциалов R(sinх, cosх) dx......Page 81
287. Интегрирование выражений sinv х * cosµ х......Page 84
288. Примеры......Page 86
289. Обзор других случаев......Page 90
290. Общие замечания и определения......Page 92
291. Вспомогательные преобразования......Page 94
292. Приведение к канонической форме......Page 97
293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода......Page 99
294. Другой подход к задаче о площади......Page 104
295. Определение......Page 106
296. Суммы Дарбу......Page 108
297. Условия существования интеграла......Page 111
298. Классы интегрируемых функций......Page 112
299. Свойства интегрируемых функций......Page 114
300. Примеры и дополнения......Page 116
301. Нижний и верхний интегралы как пределы......Page 118
302. Интеграл по ориентированному промежутку......Page 120
303. Свойства, выражаемые равенствами......Page 121
304. Свойства, выражаемые неравенствами......Page 123
305. Определенный интеграл как функция верхнего предела......Page 127
306. Вторая теорема о среднем значении......Page 130
307. Вычисление с помощью интегральных сумм......Page 133
308. Основная формула интегрального исчисления......Page 136
309. Примеры......Page 138
310. Другой вывод основной формулы......Page 142
311. Формулы приведения......Page 143
312. Примеры......Page 144
313. Формула замены переменной в определенном интеграле......Page 148
314. Примеры......Page 149
315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена......Page 155
316. Другой вывод формулы замены переменной......Page 157
317. Формула Валлиса......Page 159
318. Формула Тейлора с дополнительным членом......Page 160
319. Трансцендентность числа е......Page 161
320. Многочлены Лежандра......Page 163
321. Интегральные неравенства......Page 166
322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций......Page 169
323. Параболическое интерполирование......Page 172
324. Дробление промежутка интегрирования......Page 174
325. Дополнительный член формулы прямоугольников......Page 175
327. Дополнительный член формулы Симпсона......Page 178
328. Примеры......Page 181
329. Вычисление длины кривой......Page 186
330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению......Page 188
331. Примеры......Page 192
332. Натуральное уравнение плоской кривой......Page 198
333. Примеры......Page 202
334. Длина дуги пространственной кривой......Page 204
335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности......Page 205
336. Площадь как предел......Page 209
337. Классы квадрируемых областей......Page 211
338. Выражение площади интегралом......Page 213
339. Примеры......Page 216
340. Определение понятия объема. Его свойства......Page 223
341. Классы тел, имеющих объемы......Page 225
342. Выражение объема интегралом......Page 227
343. Примеры......Page 230
344. Площадь поверхности вращения......Page 237
345. Примеры......Page 240
346. Площадь цилиндрической поверхности......Page 243
347. Примеры......Page 245
348. Схема применения определенного интеграла......Page 248
349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой......Page 251
350. Примеры......Page 253
351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры......Page 255
352. Примеры......Page 256
353. Механическая работа......Page 258
354. Примеры......Page 260
355. Работа силы трения в плоской пяте......Page 262
356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов......Page 264
357. Основные понятия. Уравнения первого порядка......Page 270
358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение переменных......Page 271
359. Задачи......Page 273
360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений......Page 279
361. Задачи......Page 280
362. Основные понятия......Page 284
363. Примеры......Page 285
364. Основные теоремы......Page 287
365. Условие сходимости положительного ряда......Page 289
366. Теоремы сравнения рядов......Page 292
367. Примеры......Page 294
368. Признаки Коши и Даламбера......Page 298
369. Признак Раабе......Page 300
370. Примеры......Page 302
371. Признак Куммера......Page 305
372. Признак Гаусса......Page 307
373. Интегральный признак Маклорена-Коши......Page 309
374. Признак Ермакова......Page 313
375. Дополнения......Page 316
376. Общее условие сходимости ряда......Page 322
377. Абсолютная сходимость......Page 323
378. Примеры......Page 325
379. Степенной ряд, его промежуток сходимости......Page 327
380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты......Page 329
381. Знакопеременные ряды......Page 330
382. Примеры......Page 332
383. Преобразование Абеля......Page 334
384. Признаки Абеля и Дирихле......Page 336
385. Примеры......Page 337
386. Сочетательное свойство......Page 342
387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов......Page 344
388. Случай неабсолютно сходящихся рядов......Page 346
389. Умножение рядов......Page 349
390. Примеры......Page 352
391. Общая теорема из теории пределов......Page 355
392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов......Page 357
393. Повторные ряды......Page 359
394. Двойные ряды......Page 363
395. Примеры......Page 369
396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости......Page 377
397. Примеры......Page 380
399. Основные понятия......Page 382
400. Примеры......Page 383
401. Основные теоремы. Связь с рядами......Page 385
402. Примеры......Page 389
403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора......Page 396
404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др.......Page 399
405. Логарифмический ряд......Page 401
406. Формула Стирлинга......Page 403
407. Биномиальный ряд......Page 405
408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения......Page 407
409. Общие замечания......Page 411
410. Вычисление числа пи......Page 412
411. Вычисление логарифмов......Page 414
412. Вычисление корней......Page 416
413. Преобразование рядов по Эйлеру......Page 417
414. Примеры......Page 419
415. Преобразование Куммера......Page 422
416. Преобразование Маркова......Page 425
417. Введение......Page 427
418. Метод степенных рядов......Page 429
419. Теорема Таубера......Page 432
420. Метод средних арифметических......Page 435
421. Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро......Page 436
422. Теорема Харди-Ландау......Page 438
423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов......Page 441
424. Другие методы обобщенного суммирования рядов......Page 442
425. Примеры......Page 447
426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования......Page 450
427. Вводные замечения......Page 454
428. Равномерная и неравномерная сходимости......Page 456
429. Условие равномерной сходимости......Page 461
430. Признаки равномерной сходимости рядов......Page 463
431. Непрерывность суммы ряда......Page 466
432. Замечание о квазиравномерной сходимости......Page 469
433. Почленный переход к пределу......Page 471
434. Почленное интегрирование рядов......Page 473
435. Почленное дифференцирование рядов......Page 476
436. Точка зрения последовательности......Page 479
437. Непрерывность суммы степенного ряда......Page 482
438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов......Page 486
439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к пределу......Page 489
440. Примеры на почленное интегрирование рядов......Page 496
441. Примеры на почленное дифференцирование рядов......Page 507
442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций......Page 513
443. Аналитическое определение тригонометрических функций......Page 515
444. Пример непрерывной функции без производной......Page 518
445. Действия над степенными рядами......Page 520
446. Подстановка ряда в ряд......Page 524
447. Примеры......Page 527
448. Деление степенных рядов......Page 531
449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются......Page 534
450. Решение уравнений рядами......Page 539
451. Обращение степенного ряда......Page 543
452. Ряд Лагранжа......Page 545
453. Комплексные числа......Page 549
454. Комплексная варианта и ее предел......Page 552
455. Функции комплексной переменной......Page 554
456. Степенные ряды......Page 557
457. Показательная функция......Page 560
458. Логарифмическая функция......Page 562
459. Тригонометрические функции и им обратные......Page 564
460. Степенная функция......Page 568
461. Примеры......Page 569
462. Примеры......Page 574
463. Определения......Page 577
464. Основные свойства асимптотических разложений......Page 579
465. Вывод формулы Эйлера-Маклорена......Page 583
466. Исследование дополнительного члена......Page 586
467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера-Маклорена......Page 588
468. Другой вид формулы Эйлера-Маклорена......Page 592
469. Формула и ряд Стирлинга......Page 594
470. Определение интегралов с бесконечными пределами......Page 597
471. Применение основной формулы интегрального исчисления......Page 599
472. Примеры......Page 600
473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы......Page 603
474. Сходимость интеграла в случае положительной функции......Page 605
475. Сходимость интеграла в общем случае......Page 607
476. Признаки Абеля и Дирихле......Page 609
477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду......Page 612
478. Примеры......Page 615
479. Определение интегралов от неограниченных функций......Page 623
480. Замечание относительно особых точек......Page 627
481. Применение основной формулы интегрального исчисления. Примеры......Page 628
482. Условия и признаки существования интеграла......Page 630
483. Примеры......Page 634
484. Главные значения несобственных интегралов......Page 637
485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов......Page 642
486. Простейшие свойства......Page 645
487. Теоремы о среднем значении......Page 647
488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов......Page 649
489. Примеры......Page 650
490. Замена переменных в несобственных интегралах......Page 653
491. Примеры......Page 654
492. Некоторые замечательные интегралы......Page 659
493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм. Случай интегралов с конечными пределами......Page 663
494. Случай интегралов с бесконечным пределом......Page 666
495. Интегралы Фруллани......Page 670
496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами......Page 672
497. Смешанные примеры и упражнения......Page 678
498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей......Page 691
499. Примеры......Page 692
500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов......Page 696
501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом......Page 697
502. Использование асимптотических разложений......Page 700
503. Постановка задачи......Page 704
504. Равномерное стремление к предельной функции......Page 705
505. Перестановка двух предельных переходов......Page 708
506. Предельный переход под знаком интеграла......Page 710
507. Дифференцирование под знаком интеграла......Page 712
508. Интегрирование под знаком интеграла......Page 715
509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра......Page 717
510. Введение множителя, зависящего лишь от х......Page 720
511. Примеры......Page 722
512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры......Page 733
513. Определение равномерной сходимости интегралов......Page 735
514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами......Page 736
515. Достаточные признаки равномерной сходимости......Page 737
516. Другой случай равномерной сходимости......Page 740
517. Примеры......Page 742
518. Предельный переход под знаком интеграла......Page 747
519. Примеры......Page 751
520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру......Page 765
521. Интегрирование интеграла по параметру......Page 769
522. Применение к вычислению некоторых интегралов......Page 772
523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла......Page 779
524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла......Page 789
525. Лемма Арцела......Page 800
526. Предельный переход под знаком интеграла......Page 802
528. Интегрирование под знаком интеграла......Page 806
529. Эйлеров интеграл первого рода......Page 808
530. Эйлеров интеграл второго рода......Page 811
531. Простейшие свойства функции Г......Page 812
532. Однозначное определение функции Г ее свойствами......Page 819
533. Другая функциональная характеристика функции Г......Page 821
534. Примеры......Page 823
535. Логарифмическая производная функции Г......Page 830
536. Теорема умножения для функции Г......Page 832
537. Некоторые разложения в ряды и произведения......Page 834
538. Примеры и дополнения......Page 835
539. Вычисление некоторых определенных интегралов......Page 842
540. Формула Стирлинга......Page 850
541. Вычисление эйлеровой постоянной......Page 853
542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г......Page 854
Алфавитный указатель......Page 856
